Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27543 / 6338
↖ ↑ ↗
← N 80.926693°
W 28.701782°		 ← 96.32 m → N 80.926693°
W 28.696289°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 80.925827°
W 28.701782°		 ← 96.33 m →
9 279 m²		 N 80.925827°
W 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420280456542969 y=0.0967178344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420280456542969 × 216)
    floor (0.420280456542969 × 65536)
    floor (27543.5)     		tx = 27543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967178344726562 × 216)
    floor (0.0967178344726562 × 65536)
    floor (6338.5)     		ty = 6338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27543 / 6338 ti = "16/27543/6338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27543/6338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27543 ÷ 216
    27543 ÷ 65536     		x = 0.420272827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6338 ÷ 216
    6338 ÷ 65536     		y = 0.096710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420272827148438 × 2 - 1) × π
    -0.159454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50094060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096710205078125 × 2 - 1) × π
    0.80657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53394451391617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50094060} λ = -0.50094060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53394451391617))-π/2
    2×atan(12.6031214060502)-π/2
    2×1.49161678911169-π/2
    2.98323357822339-1.57079632675     		φ = 1.41243725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50094060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.701782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41243725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.926693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27543 KachelY 6338 -0.50094060 1.41243725 -28.701782 80.926693
    Oben rechts KachelX + 1 27544 KachelY 6338 -0.50084473 1.41243725 -28.696289 80.926693
    Unten links KachelX 27543 KachelY + 1 6339 -0.50094060 1.41242213 -28.701782 80.925827
    Unten rechts KachelX + 1 27544 KachelY + 1 6339 -0.50084473 1.41242213 -28.696289 80.925827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41243725-1.41242213) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41243725-1.41242213) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50094060--0.50084473) × cos(1.41243725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157698028690877 × 6371000     		do = 96.3200272774944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50094060--0.50084473) × cos(1.41242213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157712959482082 × 6371000     		du = 96.3291468221593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41243725)-sin(1.41242213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157698028690877-0.157712959482082)×R²
    abs(-0.50084473--0.50094060)×1.49307912056529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49307912056529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49307912056529e-05×40589641000000     		ar = 9278.90123508779m²