Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27542 / 8361
↖ ↑ ↗
← N 78.995529°
W 28.707275°		 ← 116.59 m → N 78.995529°
W 28.701782°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
N 78.994480°
W 28.707275°		 ← 116.60 m →
13 601 m²		 N 78.994480°
W 28.701782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420265197753906 y=0.127586364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420265197753906 × 216)
    floor (0.420265197753906 × 65536)
    floor (27542.5)     		tx = 27542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127586364746094 × 216)
    floor (0.127586364746094 × 65536)
    floor (8361.5)     		ty = 8361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27542 / 8361 ti = "16/27542/8361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27542/8361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27542 ÷ 216
    27542 ÷ 65536     		x = 0.420257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8361 ÷ 216
    8361 ÷ 65536     		y = 0.127578735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.15948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50103647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127578735351562 × 2 - 1) × π
    0.744842529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33999181805342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50103647} λ = -0.50103647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33999181805342))-π/2
    2×atan(10.3811516243563)-π/2
    2×1.47476420164211-π/2
    2.94952840328422-1.57079632675     		φ = 1.37873208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50103647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37873208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.995529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27542 KachelY 8361 -0.50103647 1.37873208 -28.707275 78.995529
    Oben rechts KachelX + 1 27543 KachelY 8361 -0.50094060 1.37873208 -28.701782 78.995529
    Unten links KachelX 27542 KachelY + 1 8362 -0.50103647 1.37871377 -28.707275 78.994480
    Unten rechts KachelX + 1 27543 KachelY + 1 8362 -0.50094060 1.37871377 -28.701782 78.994480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37873208-1.37871377) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dl = 116.653009999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37873208-1.37871377) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dr = 116.653009999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50103647--0.50094060) × cos(1.37873208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190885590257223 × 6371000     		do = 116.590583998341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50103647--0.50094060) × cos(1.37871377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190903563546288 × 6371000     		du = 116.601561863488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37873208)-sin(1.37871377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190885590257223-0.190903563546288)×R²
    abs(-0.50094060--0.50103647)×1.79732890642215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79732890642215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79732890642215e-05×40589641000000     		ar = 13601.2828617375m²