Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27542 / 21429
↖ ↑ ↗
← N 52.732965°
W 28.707275°		 ← 369.85 m → N 52.732965°
W 28.701782°		 →
↑
369.84 m
↓
↑
369.84 m
↓
N 52.729639°
W 28.707275°		 ← 369.88 m →
136 790 m²		 N 52.729639°
W 28.701782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420265197753906 y=0.326988220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420265197753906 × 216)
    floor (0.420265197753906 × 65536)
    floor (27542.5)     		tx = 27542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326988220214844 × 216)
    floor (0.326988220214844 × 65536)
    floor (21429.5)     		ty = 21429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27542 / 21429 ti = "16/27542/21429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27542/21429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27542 ÷ 216
    27542 ÷ 65536     		x = 0.420257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21429 ÷ 216
    21429 ÷ 65536     		y = 0.326980590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.15948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50103647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326980590820312 × 2 - 1) × π
    0.346038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08711300958363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50103647} λ = -0.50103647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08711300958363))-π/2
    2×atan(2.96569975476196)-π/2
    2×1.24558009957872-π/2
    2.49116019915744-1.57079632675     		φ = 0.92036387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50103647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92036387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.732965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27542 KachelY 21429 -0.50103647 0.92036387 -28.707275 52.732965
    Oben rechts KachelX + 1 27543 KachelY 21429 -0.50094060 0.92036387 -28.701782 52.732965
    Unten links KachelX 27542 KachelY + 1 21430 -0.50103647 0.92030582 -28.707275 52.729639
    Unten rechts KachelX + 1 27543 KachelY + 1 21430 -0.50094060 0.92030582 -28.701782 52.729639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92036387-0.92030582) × R
    5.80499999999207e-05 × 6371000     		dl = 369.836549999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92036387-0.92030582) × R
    5.80499999999207e-05 × 6371000     		dr = 369.836549999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50103647--0.50094060) × cos(0.92036387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605530620982658 × 6371000     		do = 369.850697656704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50103647--0.50094060) × cos(0.92030582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605576817429887 × 6371000     		du = 369.87891388169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92036387)-sin(0.92030582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605530620982658-0.605576817429887)×R²
    abs(-0.50094060--0.50103647)×4.6196447229252e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6196447229252e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6196447229252e-05×40589641000000     		ar = 136789.523770482m²