Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27540 / 6332
↖ ↑ ↗
← N 80.931889°
W 28.718262°		 ← 96.27 m → N 80.931889°
W 28.712769°		 →
↑
96.27 m
↓
↑
96.27 m
↓
N 80.931024°
W 28.718262°		 ← 96.27 m →
9 267 m²		 N 80.931024°
W 28.712769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420234680175781 y=0.0966262817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420234680175781 × 216)
    floor (0.420234680175781 × 65536)
    floor (27540.5)     		tx = 27540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966262817382812 × 216)
    floor (0.0966262817382812 × 65536)
    floor (6332.5)     		ty = 6332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27540 / 6332 ti = "16/27540/6332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27540/6332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27540 ÷ 216
    27540 ÷ 65536     		x = 0.42022705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6332 ÷ 216
    6332 ÷ 65536     		y = 0.09661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42022705078125 × 2 - 1) × π
    -0.1595458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50122822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09661865234375 × 2 - 1) × π
    0.8067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53451975671161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50122822} λ = -0.50122822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53451975671161))-π/2
    2×atan(12.6103733464523)-π/2
    2×1.49166213355859-π/2
    2.98332426711719-1.57079632675     		φ = 1.41252794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50122822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.718262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41252794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.931889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27540 KachelY 6332 -0.50122822 1.41252794 -28.718262 80.931889
    Oben rechts KachelX + 1 27541 KachelY 6332 -0.50113235 1.41252794 -28.712769 80.931889
    Unten links KachelX 27540 KachelY + 1 6333 -0.50122822 1.41251283 -28.718262 80.931024
    Unten rechts KachelX + 1 27541 KachelY + 1 6333 -0.50113235 1.41251283 -28.712769 80.931024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41252794-1.41251283) × R
    1.51099999998738e-05 × 6371000     		dl = 96.2658099991962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41252794-1.41251283) × R
    1.51099999998738e-05 × 6371000     		dr = 96.2658099991962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50122822--0.50113235) × cos(1.41252794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15760847281172 × 6371000     		do = 96.265327641774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50122822--0.50113235) × cos(1.41251283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157623393944122 × 6371000     		du = 96.2744412869598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41252794)-sin(1.41251283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15760847281172-0.157623393944122)×R²
    abs(-0.50113235--0.50122822)×1.49211324020626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49211324020626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49211324020626e-05×40589641000000     		ar = 9267.49840665682m²