Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27537 / 8443
↖ ↑ ↗
← N 78.909214°
W 28.734741°		 ← 117.49 m → N 78.909214°
W 28.729248°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
N 78.908157°
W 28.734741°		 ← 117.50 m →
13 811 m²		 N 78.908157°
W 28.729248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420188903808594 y=0.128837585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420188903808594 × 216)
    floor (0.420188903808594 × 65536)
    floor (27537.5)     		tx = 27537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128837585449219 × 216)
    floor (0.128837585449219 × 65536)
    floor (8443.5)     		ty = 8443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27537 / 8443 ti = "16/27537/8443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27537/8443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27537 ÷ 216
    27537 ÷ 65536     		x = 0.420181274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8443 ÷ 216
    8443 ÷ 65536     		y = 0.128829956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420181274414062 × 2 - 1) × π
    -0.159637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50151584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128829956054688 × 2 - 1) × π
    0.742340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33213016651573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50151584} λ = -0.50151584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33213016651573))-π/2
    2×atan(10.2998585951561)-π/2
    2×1.47401096123951-π/2
    2.94802192247902-1.57079632675     		φ = 1.37722560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50151584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.734741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37722560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.909214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27537 KachelY 8443 -0.50151584 1.37722560 -28.734741 78.909214
    Oben rechts KachelX + 1 27538 KachelY 8443 -0.50141997 1.37722560 -28.729248 78.909214
    Unten links KachelX 27537 KachelY + 1 8444 -0.50151584 1.37720715 -28.734741 78.908157
    Unten rechts KachelX + 1 27538 KachelY + 1 8444 -0.50141997 1.37720715 -28.729248 78.908157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37722560-1.37720715) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37722560-1.37720715) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50151584--0.50141997) × cos(1.37722560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192364152377582 × 6371000     		do = 117.493671658641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50151584--0.50141997) × cos(1.37720715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192382257765495 × 6371000     		du = 117.504730208149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37722560)-sin(1.37720715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192364152377582-0.192382257765495)×R²
    abs(-0.50141997--0.50151584)×1.81053879130255e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81053879130255e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81053879130255e-05×40589641000000     		ar = 13811.4376989487m²