Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27536 / 8368
↖ ↑ ↗
← N 78.988187°
W 28.740235°		 ← 116.68 m → N 78.988187°
W 28.734741°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
N 78.987137°
W 28.740235°		 ← 116.69 m →
13 619 m²		 N 78.987137°
W 28.734741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420173645019531 y=0.127693176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420173645019531 × 216)
    floor (0.420173645019531 × 65536)
    floor (27536.5)     		tx = 27536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127693176269531 × 216)
    floor (0.127693176269531 × 65536)
    floor (8368.5)     		ty = 8368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27536 / 8368 ti = "16/27536/8368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27536/8368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27536 ÷ 216
    27536 ÷ 65536     		x = 0.420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8368 ÷ 216
    8368 ÷ 65536     		y = 0.127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.15966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50161172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127685546875 × 2 - 1) × π
    0.74462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33932070145874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50161172} λ = -0.50161172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33932070145874))-π/2
    2×atan(10.3741869985287)-π/2
    2×1.47470012729446-π/2
    2.94940025458893-1.57079632675     		φ = 1.37860393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50161172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.740235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37860393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.988187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27536 KachelY 8368 -0.50161172 1.37860393 -28.740235 78.988187
    Oben rechts KachelX + 1 27537 KachelY 8368 -0.50151584 1.37860393 -28.734741 78.988187
    Unten links KachelX 27536 KachelY + 1 8369 -0.50161172 1.37858561 -28.740235 78.987137
    Unten rechts KachelX + 1 27537 KachelY + 1 8369 -0.50151584 1.37858561 -28.734741 78.987137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37860393-1.37858561) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000     		dl = 116.716719999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37860393-1.37858561) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000     		dr = 116.716719999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50161172--0.50151584) × cos(1.37860393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191011382304673 × 6371000     		do = 116.679585577579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50161172--0.50151584) × cos(1.37858561) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191029364961512 × 6371000     		du = 116.690570310123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37860393)-sin(1.37858561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191011382304673-0.191029364961512)×R²
    abs(-0.50151584--0.50161172)×1.79826568397212e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.79826568397212e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.79826568397212e-05×40589641000000     		ar = 13619.0995705683m²