Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27536 / 21450
↖ ↑ ↗
← N 52.663058°
W 28.740235°		 ← 370.48 m → N 52.663058°
W 28.734741°		 →
↑
370.47 m
↓
↑
370.47 m
↓
N 52.659726°
W 28.740235°		 ← 370.51 m →
137 259 m²		 N 52.659726°
W 28.734741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420173645019531 y=0.327308654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420173645019531 × 216)
    floor (0.420173645019531 × 65536)
    floor (27536.5)     		tx = 27536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327308654785156 × 216)
    floor (0.327308654785156 × 65536)
    floor (21450.5)     		ty = 21450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27536 / 21450 ti = "16/27536/21450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27536/21450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27536 ÷ 216
    27536 ÷ 65536     		x = 0.420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21450 ÷ 216
    21450 ÷ 65536     		y = 0.327301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.15966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50161172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327301025390625 × 2 - 1) × π
    0.34539794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08509965979959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50161172} λ = -0.50161172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08509965979959))-π/2
    2×atan(2.95973477061591)-π/2
    2×1.24497003864925-π/2
    2.48994007729849-1.57079632675     		φ = 0.91914375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50161172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.740235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91914375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.663058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27536 KachelY 21450 -0.50161172 0.91914375 -28.740235 52.663058
    Oben rechts KachelX + 1 27537 KachelY 21450 -0.50151584 0.91914375 -28.734741 52.663058
    Unten links KachelX 27536 KachelY + 1 21451 -0.50161172 0.91908560 -28.740235 52.659726
    Unten rechts KachelX + 1 27537 KachelY + 1 21451 -0.50151584 0.91908560 -28.734741 52.659726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91914375-0.91908560) × R
    5.81500000000901e-05 × 6371000     		dl = 370.473650000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91914375-0.91908560) × R
    5.81500000000901e-05 × 6371000     		dr = 370.473650000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50161172--0.50151584) × cos(0.91914375) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.606501168364606 × 6371000     		do = 370.482136317006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50161172--0.50151584) × cos(0.91908560) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.606547401392058 × 6371000     		du = 370.510377830249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91914375)-sin(0.91908560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606501168364606-0.606547401392058)×R²
    abs(-0.50151584--0.50161172)×4.62330274513256e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.62330274513256e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.62330274513256e-05×40589641000000     		ar = 137259.100708361m²