Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27534 / 8367
↖ ↑ ↗
← N 78.989236°
W 28.751221°		 ← 116.67 m → N 78.989236°
W 28.745727°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
N 78.988187°
W 28.751221°		 ← 116.68 m →
13 610 m²		 N 78.988187°
W 28.745727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420143127441406 y=0.127677917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420143127441406 × 216)
    floor (0.420143127441406 × 65536)
    floor (27534.5)     		tx = 27534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127677917480469 × 216)
    floor (0.127677917480469 × 65536)
    floor (8367.5)     		ty = 8367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27534 / 8367 ti = "16/27534/8367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27534/8367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27534 ÷ 216
    27534 ÷ 65536     		x = 0.420135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8367 ÷ 216
    8367 ÷ 65536     		y = 0.127670288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.15972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50180347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127670288085938 × 2 - 1) × π
    0.744659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33941657525798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50180347} λ = -0.50180347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33941657525798))-π/2
    2×atan(10.3751816589305)-π/2
    2×1.47470928335719-π/2
    2.94941856671438-1.57079632675     		φ = 1.37862224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50180347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.751221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37862224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.989236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27534 KachelY 8367 -0.50180347 1.37862224 -28.751221 78.989236
    Oben rechts KachelX + 1 27535 KachelY 8367 -0.50170759 1.37862224 -28.745727 78.989236
    Unten links KachelX 27534 KachelY + 1 8368 -0.50180347 1.37860393 -28.751221 78.988187
    Unten rechts KachelX + 1 27535 KachelY + 1 8368 -0.50170759 1.37860393 -28.745727 78.988187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37862224-1.37860393) × R
    1.83100000001879e-05 × 6371000     		dl = 116.653010001197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37862224-1.37860393) × R
    1.83100000001879e-05 × 6371000     		dr = 116.653010001197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50180347--0.50170759) × cos(1.37862224) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.190993409399638 × 6371000     		do = 116.668606802073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50180347--0.50170759) × cos(1.37860393) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.191011382304673 × 6371000     		du = 116.679585577714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37862224)-sin(1.37860393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190993409399638-0.191011382304673)×R²
    abs(-0.50170759--0.50180347)×1.79729050344968e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.79729050344968e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.79729050344968e-05×40589641000000     		ar = 13610.3845100271m²