Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27533 / 8358
↖ ↑ ↗
← N 78.998674°
W 28.756714°		 ← 116.56 m → N 78.998674°
W 28.751221°		 →
↑
116.59 m
↓
↑
116.59 m
↓
N 78.997626°
W 28.756714°		 ← 116.57 m →
13 590 m²		 N 78.997626°
W 28.751221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420127868652344 y=0.127540588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420127868652344 × 216)
    floor (0.420127868652344 × 65536)
    floor (27533.5)     		tx = 27533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127540588378906 × 216)
    floor (0.127540588378906 × 65536)
    floor (8358.5)     		ty = 8358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27533 / 8358 ti = "16/27533/8358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27533/8358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27533 ÷ 216
    27533 ÷ 65536     		x = 0.420120239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8358 ÷ 216
    8358 ÷ 65536     		y = 0.127532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420120239257812 × 2 - 1) × π
    -0.159759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50189934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127532958984375 × 2 - 1) × π
    0.74493408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34027943945114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50189934} λ = -0.50189934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34027943945114))-π/2
    2×atan(10.3841378951336)-π/2
    2×1.47479164915788-π/2
    2.94958329831577-1.57079632675     		φ = 1.37878697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50189934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.756714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37878697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.998674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27533 KachelY 8358 -0.50189934 1.37878697 -28.756714 78.998674
    Oben rechts KachelX + 1 27534 KachelY 8358 -0.50180347 1.37878697 -28.751221 78.998674
    Unten links KachelX 27533 KachelY + 1 8359 -0.50189934 1.37876867 -28.756714 78.997626
    Unten rechts KachelX + 1 27534 KachelY + 1 8359 -0.50180347 1.37876867 -28.751221 78.997626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37878697-1.37876867) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dl = 116.58930000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37878697-1.37876867) × R
    1.83000000000266e-05 × 6371000     		dr = 116.58930000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50189934--0.50180347) × cos(1.37878697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190831709270992 × 6371000     		do = 116.557674150915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50189934--0.50180347) × cos(1.37876867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190849672935693 × 6371000     		du = 116.568646137619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37878697)-sin(1.37876867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190831709270992-0.190849672935693)×R²
    abs(-0.50180347--0.50189934)×1.796366470036e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.796366470036e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.796366470036e-05×40589641000000     		ar = 13590.0172472459m²