Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27531 / 9361
↖ ↑ ↗
← N 77.896103°
W 28.767700°		 ← 128.09 m → N 77.896103°
W 28.762207°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
N 77.894951°
W 28.767700°		 ← 128.10 m →
16 411 m²		 N 77.894951°
W 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420097351074219 y=0.142845153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420097351074219 × 216)
    floor (0.420097351074219 × 65536)
    floor (27531.5)     		tx = 27531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142845153808594 × 216)
    floor (0.142845153808594 × 65536)
    floor (9361.5)     		ty = 9361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27531 / 9361 ti = "16/27531/9361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27531/9361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27531 ÷ 216
    27531 ÷ 65536     		x = 0.420089721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9361 ÷ 216
    9361 ÷ 65536     		y = 0.142837524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420089721679688 × 2 - 1) × π
    -0.159820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50209109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142837524414062 × 2 - 1) × π
    0.714324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24411801881331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50209109} λ = -0.50209109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24411801881331))-π/2
    2×atan(9.43209295827203)-π/2
    2×1.46516990275342-π/2
    2.93033980550684-1.57079632675     		φ = 1.35954348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50209109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.767700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35954348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.896103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27531 KachelY 9361 -0.50209109 1.35954348 -28.767700 77.896103
    Oben rechts KachelX + 1 27532 KachelY 9361 -0.50199521 1.35954348 -28.762207 77.896103
    Unten links KachelX 27531 KachelY + 1 9362 -0.50209109 1.35952337 -28.767700 77.894951
    Unten rechts KachelX + 1 27532 KachelY + 1 9362 -0.50199521 1.35952337 -28.762207 77.894951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35954348-1.35952337) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35954348-1.35952337) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50209109--0.50199521) × cos(1.35954348) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209685058820449 × 6371000     		do = 128.086428514274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50209109--0.50199521) × cos(1.35952337) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209704721712214 × 6371000     		du = 128.09843962081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35954348)-sin(1.35952337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209685058820449-0.209704721712214)×R²
    abs(-0.50199521--0.50209109)×1.9662891764749e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9662891764749e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9662891764749e-05×40589641000000     		ar = 16411.3064084156m²