Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27531 / 8788
↖ ↑ ↗
← N 78.538679°
W 28.767700°		 ← 121.38 m → N 78.538679°
W 28.762207°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
N 78.537586°
W 28.767700°		 ← 121.39 m →
14 740 m²		 N 78.537586°
W 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420097351074219 y=0.134101867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420097351074219 × 216)
    floor (0.420097351074219 × 65536)
    floor (27531.5)     		tx = 27531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134101867675781 × 216)
    floor (0.134101867675781 × 65536)
    floor (8788.5)     		ty = 8788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27531 / 8788 ti = "16/27531/8788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27531/8788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27531 ÷ 216
    27531 ÷ 65536     		x = 0.420089721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8788 ÷ 216
    8788 ÷ 65536     		y = 0.13409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420089721679688 × 2 - 1) × π
    -0.159820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50209109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13409423828125 × 2 - 1) × π
    0.7318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29905370577789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50209109} λ = -0.50209109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29905370577789))-π/2
    2×atan(9.96474840798349)-π/2
    2×1.4707774261987-π/2
    2.94155485239741-1.57079632675     		φ = 1.37075853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50209109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.767700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37075853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.538679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27531 KachelY 8788 -0.50209109 1.37075853 -28.767700 78.538679
    Oben rechts KachelX + 1 27532 KachelY 8788 -0.50199521 1.37075853 -28.762207 78.538679
    Unten links KachelX 27531 KachelY + 1 8789 -0.50209109 1.37073947 -28.767700 78.537586
    Unten rechts KachelX + 1 27532 KachelY + 1 8789 -0.50199521 1.37073947 -28.762207 78.537586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37075853-1.37073947) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37075853-1.37073947) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50209109--0.50199521) × cos(1.37075853) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198706374028571 × 6371000     		do = 121.380082660706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50209109--0.50199521) × cos(1.37073947) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198725053918314 × 6371000     		du = 121.391493299002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37075853)-sin(1.37073947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198706374028571-0.198725053918314)×R²
    abs(-0.50199521--0.50209109)×1.86798897431062e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.86798897431062e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.86798897431062e-05×40589641000000     		ar = 14740.029180841m²