Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27531 / 6341
↖ ↑ ↗
← N 80.924094°
W 28.767700°		 ← 96.36 m → N 80.924094°
W 28.762207°		 →
↑
96.39 m
↓
↑
96.39 m
↓
N 80.923227°
W 28.767700°		 ← 96.37 m →
9 289 m²		 N 80.923227°
W 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420097351074219 y=0.0967636108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420097351074219 × 216)
    floor (0.420097351074219 × 65536)
    floor (27531.5)     		tx = 27531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967636108398438 × 216)
    floor (0.0967636108398438 × 65536)
    floor (6341.5)     		ty = 6341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27531 / 6341 ti = "16/27531/6341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27531/6341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27531 ÷ 216
    27531 ÷ 65536     		x = 0.420089721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6341 ÷ 216
    6341 ÷ 65536     		y = 0.0967559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420089721679688 × 2 - 1) × π
    -0.159820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50209109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0967559814453125 × 2 - 1) × π
    0.806488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53365689251845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50209109} λ = -0.50209109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53365689251845))-π/2
    2×atan(12.5994969999091)-π/2
    2×1.49159410722726-π/2
    2.98318821445452-1.57079632675     		φ = 1.41239189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50209109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.767700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41239189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.924094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27531 KachelY 6341 -0.50209109 1.41239189 -28.767700 80.924094
    Oben rechts KachelX + 1 27532 KachelY 6341 -0.50199521 1.41239189 -28.762207 80.924094
    Unten links KachelX 27531 KachelY + 1 6342 -0.50209109 1.41237676 -28.767700 80.923227
    Unten rechts KachelX + 1 27532 KachelY + 1 6342 -0.50199521 1.41237676 -28.762207 80.923227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41239189-1.41237676) × R
    1.51300000001964e-05 × 6371000     		dl = 96.3932300012511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41239189-1.41237676) × R
    1.51300000001964e-05 × 6371000     		dr = 96.3932300012511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50209109--0.50199521) × cos(1.41239189) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157742820956324 × 6371000     		do = 96.3574356404821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50209109--0.50199521) × cos(1.41237676) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157757761514131 × 6371000     		du = 96.3665621023309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41239189)-sin(1.41237676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157742820956324-0.157757761514131)×R²
    abs(-0.50199521--0.50209109)×1.49405578076522e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49405578076522e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49405578076522e-05×40589641000000     		ar = 9288.64432113181m²