Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27530 / 21438
↖ ↑ ↗
← N 52.703019°
W 28.773193°		 ← 370.10 m → N 52.703019°
W 28.767700°		 →
↑
370.09 m
↓
↑
370.09 m
↓
N 52.699690°
W 28.773193°		 ← 370.13 m →
136 978 m²		 N 52.699690°
W 28.767700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420082092285156 y=0.327125549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420082092285156 × 216)
    floor (0.420082092285156 × 65536)
    floor (27530.5)     		tx = 27530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327125549316406 × 216)
    floor (0.327125549316406 × 65536)
    floor (21438.5)     		ty = 21438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27530 / 21438 ti = "16/27530/21438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27530/21438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27530 ÷ 216
    27530 ÷ 65536     		x = 0.420074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21438 ÷ 216
    21438 ÷ 65536     		y = 0.327117919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.15985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50218696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327117919921875 × 2 - 1) × π
    0.34576416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08625014539047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50218696} λ = -0.50218696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08625014539047))-π/2
    2×atan(2.9631418623515)-π/2
    2×1.24531876452874-π/2
    2.49063752905748-1.57079632675     		φ = 0.91984120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50218696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.773193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91984120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.703019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27530 KachelY 21438 -0.50218696 0.91984120 -28.773193 52.703019
    Oben rechts KachelX + 1 27531 KachelY 21438 -0.50209109 0.91984120 -28.767700 52.703019
    Unten links KachelX 27530 KachelY + 1 21439 -0.50218696 0.91978311 -28.773193 52.699690
    Unten rechts KachelX + 1 27531 KachelY + 1 21439 -0.50209109 0.91978311 -28.767700 52.699690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91984120-0.91978311) × R
    5.80900000000106e-05 × 6371000     		dl = 370.091390000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91984120-0.91978311) × R
    5.80900000000106e-05 × 6371000     		dr = 370.091390000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50218696--0.50209109) × cos(0.91984120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605946490541577 × 6371000     		do = 370.104705697208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50218696--0.50209109) × cos(0.91978311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605992700428204 × 6371000     		du = 370.132930130813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91984120)-sin(0.91978311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605946490541577-0.605992700428204)×R²
    abs(-0.50209109--0.50218696)×4.62098866274019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62098866274019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62098866274019e-05×40589641000000     		ar = 136977.787825345m²