Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27529 / 8437
↖ ↑ ↗
← N 78.915552°
W 28.778686°		 ← 117.43 m → N 78.915552°
W 28.773193°		 →
↑
117.42 m
↓
↑
117.42 m
↓
N 78.914496°
W 28.778686°		 ← 117.44 m →
13 789 m²		 N 78.914496°
W 28.773193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420066833496094 y=0.128746032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420066833496094 × 216)
    floor (0.420066833496094 × 65536)
    floor (27529.5)     		tx = 27529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128746032714844 × 216)
    floor (0.128746032714844 × 65536)
    floor (8437.5)     		ty = 8437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27529 / 8437 ti = "16/27529/8437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27529/8437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27529 ÷ 216
    27529 ÷ 65536     		x = 0.420059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8437 ÷ 216
    8437 ÷ 65536     		y = 0.128738403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420059204101562 × 2 - 1) × π
    -0.159881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50228283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128738403320312 × 2 - 1) × π
    0.742523193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33270540931117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50228283} λ = -0.50228283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33270540931117))-π/2
    2×atan(10.3057852190675)-π/2
    2×1.47406627367361-π/2
    2.94813254734721-1.57079632675     		φ = 1.37733622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50228283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.778686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37733622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.915552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27529 KachelY 8437 -0.50228283 1.37733622 -28.778686 78.915552
    Oben rechts KachelX + 1 27530 KachelY 8437 -0.50218696 1.37733622 -28.773193 78.915552
    Unten links KachelX 27529 KachelY + 1 8438 -0.50228283 1.37731779 -28.778686 78.914496
    Unten rechts KachelX + 1 27530 KachelY + 1 8438 -0.50218696 1.37731779 -28.773193 78.914496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37733622-1.37731779) × R
    1.84300000001247e-05 × 6371000     		dl = 117.417530000795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37733622-1.37731779) × R
    1.84300000001247e-05 × 6371000     		dr = 117.417530000795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50228283--0.50218696) × cos(1.37733622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192255597182805 × 6371000     		do = 117.427367473301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50228283--0.50218696) × cos(1.37731779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192273683336402 × 6371000     		du = 117.438414274725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37733622)-sin(1.37731779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192255597182805-0.192273683336402)×R²
    abs(-0.50218696--0.50228283)×1.80861535975241e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80861535975241e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80861535975241e-05×40589641000000     		ar = 13788.6799877107m²