Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27529 / 6342
↖ ↑ ↗
← N 80.923227°
W 28.778686°		 ← 96.36 m → N 80.923227°
W 28.773193°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 80.922361°
W 28.778686°		 ← 96.37 m →
9 282 m²		 N 80.922361°
W 28.773193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420066833496094 y=0.0967788696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420066833496094 × 216)
    floor (0.420066833496094 × 65536)
    floor (27529.5)     		tx = 27529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967788696289062 × 216)
    floor (0.0967788696289062 × 65536)
    floor (6342.5)     		ty = 6342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27529 / 6342 ti = "16/27529/6342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27529/6342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27529 ÷ 216
    27529 ÷ 65536     		x = 0.420059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6342 ÷ 216
    6342 ÷ 65536     		y = 0.096771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420059204101562 × 2 - 1) × π
    -0.159881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50228283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096771240234375 × 2 - 1) × π
    0.80645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53356101871921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50228283} λ = -0.50228283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53356101871921))-π/2
    2×atan(12.5982890961673)-π/2
    2×1.49158654516742-π/2
    2.98317309033484-1.57079632675     		φ = 1.41237676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50228283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.778686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41237676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.923227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27529 KachelY 6342 -0.50228283 1.41237676 -28.778686 80.923227
    Oben rechts KachelX + 1 27530 KachelY 6342 -0.50218696 1.41237676 -28.773193 80.923227
    Unten links KachelX 27529 KachelY + 1 6343 -0.50228283 1.41236164 -28.778686 80.922361
    Unten rechts KachelX + 1 27530 KachelY + 1 6343 -0.50218696 1.41236164 -28.773193 80.922361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41237676-1.41236164) × R
    1.51199999998131e-05 × 6371000     		dl = 96.329519998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41237676-1.41236164) × R
    1.51199999998131e-05 × 6371000     		dr = 96.329519998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50228283--0.50218696) × cos(1.41237676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157757761514131 × 6371000     		do = 96.3565113554059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50228283--0.50218696) × cos(1.41236164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157772692161071 × 6371000     		du = 96.3656308119546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41237676)-sin(1.41236164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157757761514131-0.157772692161071)×R²
    abs(-0.50218696--0.50228283)×1.49306469392763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49306469392763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49306469392763e-05×40589641000000     		ar = 9282.41572419118m²