Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27525 / 9335
↖ ↑ ↗
← N 77.926015°
W 28.800659°		 ← 127.76 m → N 77.926015°
W 28.795166°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
N 77.924865°
W 28.800659°		 ← 127.77 m →
16 329 m²		 N 77.924865°
W 28.795166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420005798339844 y=0.142448425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420005798339844 × 216)
    floor (0.420005798339844 × 65536)
    floor (27525.5)     		tx = 27525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142448425292969 × 216)
    floor (0.142448425292969 × 65536)
    floor (9335.5)     		ty = 9335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27525 / 9335 ti = "16/27525/9335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27525/9335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27525 ÷ 216
    27525 ÷ 65536     		x = 0.419998168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9335 ÷ 216
    9335 ÷ 65536     		y = 0.142440795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419998168945312 × 2 - 1) × π
    -0.160003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50266633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142440795898438 × 2 - 1) × π
    0.715118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24661073759355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50266633} λ = -0.50266633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24661073759355))-π/2
    2×atan(9.45563384173771)-π/2
    2×1.46543092745777-π/2
    2.93086185491553-1.57079632675     		φ = 1.36006553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50266633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.800659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36006553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.926015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27525 KachelY 9335 -0.50266633 1.36006553 -28.800659 77.926015
    Oben rechts KachelX + 1 27526 KachelY 9335 -0.50257046 1.36006553 -28.795166 77.926015
    Unten links KachelX 27525 KachelY + 1 9336 -0.50266633 1.36004547 -28.800659 77.924865
    Unten rechts KachelX + 1 27526 KachelY + 1 9336 -0.50257046 1.36004547 -28.795166 77.924865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36006553-1.36004547) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36006553-1.36004547) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50266633--0.50257046) × cos(1.36006553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209174585974813 × 6371000     		do = 127.761278908227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50266633--0.50257046) × cos(1.36004547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209194202171659 × 6371000     		du = 127.773260241354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36006553)-sin(1.36004547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209174585974813-0.209194202171659)×R²
    abs(-0.50257046--0.50266633)×1.9616196845984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9616196845984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9616196845984e-05×40589641000000     		ar = 16328.9458065074m²