Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27523 / 9355
↖ ↑ ↗
← N 77.903012°
W 28.811646°		 ← 128.01 m → N 77.903012°
W 28.806152°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 77.901861°
W 28.811646°		 ← 128.03 m →
16 386 m²		 N 77.901861°
W 28.806152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419975280761719 y=0.142753601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419975280761719 × 216)
    floor (0.419975280761719 × 65536)
    floor (27523.5)     		tx = 27523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142753601074219 × 216)
    floor (0.142753601074219 × 65536)
    floor (9355.5)     		ty = 9355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27523 / 9355 ti = "16/27523/9355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27523/9355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27523 ÷ 216
    27523 ÷ 65536     		x = 0.419967651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9355 ÷ 216
    9355 ÷ 65536     		y = 0.142745971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419967651367188 × 2 - 1) × π
    -0.160064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50285808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142745971679688 × 2 - 1) × π
    0.714508056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24469326160875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50285808} λ = -0.50285808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24469326160875))-π/2
    2×atan(9.43752026265141)-π/2
    2×1.46523019570572-π/2
    2.93046039141145-1.57079632675     		φ = 1.35966406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50285808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.811646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35966406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.903012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27523 KachelY 9355 -0.50285808 1.35966406 -28.811646 77.903012
    Oben rechts KachelX + 1 27524 KachelY 9355 -0.50276220 1.35966406 -28.806152 77.903012
    Unten links KachelX 27523 KachelY + 1 9356 -0.50285808 1.35964397 -28.811646 77.901861
    Unten rechts KachelX + 1 27524 KachelY + 1 9356 -0.50276220 1.35964397 -28.806152 77.901861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35966406-1.35964397) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35966406-1.35964397) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50285808--0.50276220) × cos(1.35966406) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209567157912896 × 6371000     		do = 128.014408570402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50285808--0.50276220) × cos(1.35964397) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209586801757199 × 6371000     		du = 128.026408041768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35966406)-sin(1.35964397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209567157912896-0.209586801757199)×R²
    abs(-0.50276220--0.50285808)×1.96438443026137e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.96438443026137e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.96438443026137e-05×40589641000000     		ar = 16385.7660490947m²