Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27523 / 8441
↖ ↑ ↗
← N 78.911327°
W 28.811646°		 ← 117.48 m → N 78.911327°
W 28.806152°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
N 78.910271°
W 28.811646°		 ← 117.49 m →
13 803 m²		 N 78.910271°
W 28.806152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419975280761719 y=0.128807067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419975280761719 × 216)
    floor (0.419975280761719 × 65536)
    floor (27523.5)     		tx = 27523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128807067871094 × 216)
    floor (0.128807067871094 × 65536)
    floor (8441.5)     		ty = 8441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27523 / 8441 ti = "16/27523/8441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27523/8441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27523 ÷ 216
    27523 ÷ 65536     		x = 0.419967651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8441 ÷ 216
    8441 ÷ 65536     		y = 0.128799438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419967651367188 × 2 - 1) × π
    -0.160064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50285808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128799438476562 × 2 - 1) × π
    0.742401123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33232191411421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50285808} λ = -0.50285808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33232191411421))-π/2
    2×atan(10.3018337576667)-π/2
    2×1.474029402187-π/2
    2.948058804374-1.57079632675     		φ = 1.37726248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50285808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.811646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37726248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.911327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27523 KachelY 8441 -0.50285808 1.37726248 -28.811646 78.911327
    Oben rechts KachelX + 1 27524 KachelY 8441 -0.50276220 1.37726248 -28.806152 78.911327
    Unten links KachelX 27523 KachelY + 1 8442 -0.50285808 1.37724404 -28.811646 78.910271
    Unten rechts KachelX + 1 27524 KachelY + 1 8442 -0.50276220 1.37724404 -28.806152 78.910271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37726248-1.37724404) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dl = 117.481240000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37726248-1.37724404) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dr = 117.481240000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50285808--0.50276220) × cos(1.37726248) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.192327961031932 × 6371000     		do = 117.483819641661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50285808--0.50276220) × cos(1.37724404) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.192346056737459 × 6371000     		du = 117.494873430164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37726248)-sin(1.37724404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192327961031932-0.192346056737459)×R²
    abs(-0.50276220--0.50285808)×1.80957055268272e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.80957055268272e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.80957055268272e-05×40589641000000     		ar = 13802.7941185659m²