Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27521 / 21378
↖ ↑ ↗
← N 76.267391°
W104.411316°		 ← 72.51 m → N 76.267391°
W104.408569°		 →
↑
72.50 m
↓
↑
72.50 m
↓
N 76.266739°
W104.411316°		 ← 72.51 m →
5 257 m²		 N 76.266739°
W104.408569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.209972381591797 y=0.163105010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.209972381591797 × 217)
    floor (0.209972381591797 × 131072)
    floor (27521.5)     		tx = 27521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163105010986328 × 217)
    floor (0.163105010986328 × 131072)
    floor (21378.5)     		ty = 21378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27521 / 21378 ti = "17/27521/21378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27521/21378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27521 ÷ 217
    27521 ÷ 131072     		x = 0.209968566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21378 ÷ 217
    21378 ÷ 131072     		y = 0.163101196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.209968566894531 × 2 - 1) × π
    -0.580062866210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.82232124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163101196289062 × 2 - 1) × π
    0.673797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11679761342244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.82232124} λ = -1.82232124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11679761342244))-π/2
    2×atan(8.30450063832976)-π/2
    2×1.45095670305637-π/2
    2.90191340611274-1.57079632675     		φ = 1.33111708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.82232124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.411316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33111708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.267391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27521 KachelY 21378 -1.82232124 1.33111708 -104.411316 76.267391
    Oben rechts KachelX + 1 27522 KachelY 21378 -1.82227330 1.33111708 -104.408569 76.267391
    Unten links KachelX 27521 KachelY + 1 21379 -1.82232124 1.33110570 -104.411316 76.266739
    Unten rechts KachelX + 1 27522 KachelY + 1 21379 -1.82227330 1.33110570 -104.408569 76.266739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33111708-1.33110570) × R
    1.13800000001163e-05 × 6371000     		dl = 72.5019800007409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33111708-1.33110570) × R
    1.13800000001163e-05 × 6371000     		dr = 72.5019800007409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.82232124--1.82227330) × cos(1.33111708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23739105443607 × 6371000     		do = 72.5053384704695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.82232124--1.82227330) × cos(1.33110570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237402109113939 × 6371000     		du = 72.508714853638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33111708)-sin(1.33110570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23739105443607-0.237402109113939)×R²
    abs(-1.82227330--1.82232124)×1.1054677868827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1054677868827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1054677868827e-05×40589641000000     		ar = 5256.90299705241m²