Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27516 / 21483
↖ ↑ ↗
← N 52.552976°
W 28.850097°		 ← 371.38 m → N 52.552976°
W 28.844605°		 →
↑
371.43 m
↓
↑
371.43 m
↓
N 52.549636°
W 28.850097°		 ← 371.40 m →
137 945 m²		 N 52.549636°
W 28.844605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419868469238281 y=0.327812194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419868469238281 × 216)
    floor (0.419868469238281 × 65536)
    floor (27516.5)     		tx = 27516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327812194824219 × 216)
    floor (0.327812194824219 × 65536)
    floor (21483.5)     		ty = 21483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27516 / 21483 ti = "16/27516/21483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27516/21483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27516 ÷ 216
    27516 ÷ 65536     		x = 0.41986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21483 ÷ 216
    21483 ÷ 65536     		y = 0.327804565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.1602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50352919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327804565429688 × 2 - 1) × π
    0.344390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08193582442467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50352919} λ = -0.50352919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08193582442467))-π/2
    2×atan(2.95038545469523)-π/2
    2×1.24400939656804-π/2
    2.48801879313608-1.57079632675     		φ = 0.91722247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50352919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.850097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91722247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.552976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27516 KachelY 21483 -0.50352919 0.91722247 -28.850097 52.552976
    Oben rechts KachelX + 1 27517 KachelY 21483 -0.50343332 0.91722247 -28.844605 52.552976
    Unten links KachelX 27516 KachelY + 1 21484 -0.50352919 0.91716417 -28.850097 52.549636
    Unten rechts KachelX + 1 27517 KachelY + 1 21484 -0.50343332 0.91716417 -28.844605 52.549636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91722247-0.91716417) × R
    5.83000000000666e-05 × 6371000     		dl = 371.429300000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91722247-0.91716417) × R
    5.83000000000666e-05 × 6371000     		dr = 371.429300000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50352919--0.50343332) × cos(0.91722247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60802762431917 × 6371000     		do = 371.375836756295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50352919--0.50343332) × cos(0.91716417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608073908581034 × 6371000     		du = 371.404106617386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91722247)-sin(0.91716417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60802762431917-0.608073908581034)×R²
    abs(-0.50343332--0.50352919)×4.62842618643711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62842618643711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62842618643711e-05×40589641000000     		ar = 137945.117249917m²