Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27515 / 21476
↖ ↑ ↗
← N 52.576350°
W 28.855591°		 ← 371.22 m → N 52.576350°
W 28.850097°		 →
↑
371.24 m
↓
↑
371.24 m
↓
N 52.573012°
W 28.855591°		 ← 371.24 m →
137 815 m²		 N 52.573012°
W 28.850097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419853210449219 y=0.327705383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419853210449219 × 216)
    floor (0.419853210449219 × 65536)
    floor (27515.5)     		tx = 27515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327705383300781 × 216)
    floor (0.327705383300781 × 65536)
    floor (21476.5)     		ty = 21476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27515 / 21476 ti = "16/27515/21476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27515/21476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27515 ÷ 216
    27515 ÷ 65536     		x = 0.419845581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21476 ÷ 216
    21476 ÷ 65536     		y = 0.32769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419845581054688 × 2 - 1) × π
    -0.160308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50362507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32769775390625 × 2 - 1) × π
    0.3446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08260694101935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50362507} λ = -0.50362507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08260694101935))-π/2
    2×atan(2.95236617190634)-π/2
    2×1.24421337093308-π/2
    2.48842674186616-1.57079632675     		φ = 0.91763042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50362507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.855591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91763042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.576350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27515 KachelY 21476 -0.50362507 0.91763042 -28.855591 52.576350
    Oben rechts KachelX + 1 27516 KachelY 21476 -0.50352919 0.91763042 -28.850097 52.576350
    Unten links KachelX 27515 KachelY + 1 21477 -0.50362507 0.91757215 -28.855591 52.573012
    Unten rechts KachelX + 1 27516 KachelY + 1 21477 -0.50352919 0.91757215 -28.850097 52.573012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91763042-0.91757215) × R
    5.82699999999159e-05 × 6371000     		dl = 371.238169999464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91763042-0.91757215) × R
    5.82699999999159e-05 × 6371000     		dr = 371.238169999464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50362507--0.50352919) × cos(0.91763042) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.607703695754182 × 6371000     		do = 371.216701953098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50362507--0.50352919) × cos(0.91757215) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.607749970649908 × 6371000     		du = 371.244969041639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91763042)-sin(0.91757215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607703695754182-0.607749970649908)×R²
    abs(-0.50352919--0.50362507)×4.62748957258396e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.62748957258396e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.62748957258396e-05×40589641000000     		ar = 137815.056056343m²