Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 27513 / 21369
↖ ↑ ↗
← N 76.273258°
W104.433288°		 ← 72.46 m → N 76.273258°
W104.430542°		 →
↑
72.50 m
↓
↑
72.50 m
↓
N 76.272606°
W104.433288°		 ← 72.46 m →
5 254 m²		 N 76.272606°
W104.430542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.209911346435547 y=0.163036346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.209911346435547 × 217)
    floor (0.209911346435547 × 131072)
    floor (27513.5)     		tx = 27513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163036346435547 × 217)
    floor (0.163036346435547 × 131072)
    floor (21369.5)     		ty = 21369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27513 / 21369 ti = "17/27513/21369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27513/21369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27513 ÷ 217
    27513 ÷ 131072     		x = 0.209907531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21369 ÷ 217
    21369 ÷ 131072     		y = 0.163032531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.209907531738281 × 2 - 1) × π
    -0.580184936523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.82270473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163032531738281 × 2 - 1) × π
    0.673934936523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.11722904551902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.82270473} λ = -1.82270473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11722904551902))-π/2
    2×atan(8.30808423943589)-π/2
    2×1.45100790138724-π/2
    2.90201580277449-1.57079632675     		φ = 1.33121948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.82270473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.433288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33121948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.273258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27513 KachelY 21369 -1.82270473 1.33121948 -104.433288 76.273258
    Oben rechts KachelX + 1 27514 KachelY 21369 -1.82265680 1.33121948 -104.430542 76.273258
    Unten links KachelX 27513 KachelY + 1 21370 -1.82270473 1.33120810 -104.433288 76.272606
    Unten rechts KachelX + 1 27514 KachelY + 1 21370 -1.82265680 1.33120810 -104.430542 76.272606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33121948-1.33120810) × R
    1.13799999998943e-05 × 6371000     		dl = 72.5019799993263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33121948-1.33120810) × R
    1.13799999998943e-05 × 6371000     		dr = 72.5019799993263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.82270473--1.82265680) × cos(1.33121948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23729158038075 × 6371000     		do = 72.4598386870184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.82270473--1.82265680) × cos(1.33120810) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237302635335202 × 6371000     		du = 72.4632144503513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33121948)-sin(1.33120810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23729158038075-0.237302635335202)×R²
    abs(-1.82265680--1.82270473)×1.10549544517224e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10549544517224e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10549544517224e-05×40589641000000     		ar = 5253.60415002735m²