Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27513 / 21367
↖ ↑ ↗
← N 76.274561°
W104.433288°		 ← 72.45 m → N 76.274561°
W104.430542°		 →
↑
72.50 m
↓
↑
72.50 m
↓
N 76.273909°
W104.433288°		 ← 72.46 m →
5 253 m²		 N 76.273909°
W104.430542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.209911346435547 y=0.163021087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.209911346435547 × 217)
    floor (0.209911346435547 × 131072)
    floor (27513.5)     		tx = 27513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163021087646484 × 217)
    floor (0.163021087646484 × 131072)
    floor (21367.5)     		ty = 21367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27513 / 21367 ti = "17/27513/21367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27513/21367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27513 ÷ 217
    27513 ÷ 131072     		x = 0.209907531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21367 ÷ 217
    21367 ÷ 131072     		y = 0.163017272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.209907531738281 × 2 - 1) × π
    -0.580184936523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.82270473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163017272949219 × 2 - 1) × π
    0.673965454101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.11732491931826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.82270473} λ = -1.82270473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11732491931826))-π/2
    2×atan(8.30888080522062)-π/2
    2×1.45101927588041-π/2
    2.90203855176081-1.57079632675     		φ = 1.33124223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.82270473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.433288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33124223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.274561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27513 KachelY 21367 -1.82270473 1.33124223 -104.433288 76.274561
    Oben rechts KachelX + 1 27514 KachelY 21367 -1.82265680 1.33124223 -104.430542 76.274561
    Unten links KachelX 27513 KachelY + 1 21368 -1.82270473 1.33123085 -104.433288 76.273909
    Unten rechts KachelX + 1 27514 KachelY + 1 21368 -1.82265680 1.33123085 -104.430542 76.273909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33124223-1.33123085) × R
    1.13799999998943e-05 × 6371000     		dl = 72.5019799993263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33124223-1.33123085) × R
    1.13799999998943e-05 × 6371000     		dr = 72.5019799993263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.82270473--1.82265680) × cos(1.33124223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237269480094096 × 6371000     		do = 72.453090098622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.82270473--1.82265680) × cos(1.33123085) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23728053510998 × 6371000     		du = 72.456465880714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33124223)-sin(1.33123085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237269480094096-0.23728053510998)×R²
    abs(-1.82265680--1.82270473)×1.10550158838874e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10550158838874e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10550158838874e-05×40589641000000     		ar = 5253.11486486622m²