Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27513 / 21366
↖ ↑ ↗
← N 76.275213°
W104.433288°		 ← 72.45 m → N 76.275213°
W104.430542°		 →
↑
72.44 m
↓
↑
72.44 m
↓
N 76.274561°
W104.433288°		 ← 72.45 m →
5 248 m²		 N 76.274561°
W104.430542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.209911346435547 y=0.163013458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.209911346435547 × 217)
    floor (0.209911346435547 × 131072)
    floor (27513.5)     		tx = 27513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163013458251953 × 217)
    floor (0.163013458251953 × 131072)
    floor (21366.5)     		ty = 21366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27513 / 21366 ti = "17/27513/21366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27513/21366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27513 ÷ 217
    27513 ÷ 131072     		x = 0.209907531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21366 ÷ 217
    21366 ÷ 131072     		y = 0.163009643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.209907531738281 × 2 - 1) × π
    -0.580184936523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.82270473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163009643554688 × 2 - 1) × π
    0.673980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11737285621788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.82270473} λ = -1.82270473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11737285621788))-π/2
    2×atan(8.30927911675257)-π/2
    2×1.45102496272974-π/2
    2.90204992545947-1.57079632675     		φ = 1.33125360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.82270473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.433288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33125360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.275213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27513 KachelY 21366 -1.82270473 1.33125360 -104.433288 76.275213
    Oben rechts KachelX + 1 27514 KachelY 21366 -1.82265680 1.33125360 -104.430542 76.275213
    Unten links KachelX 27513 KachelY + 1 21367 -1.82270473 1.33124223 -104.433288 76.274561
    Unten rechts KachelX + 1 27514 KachelY + 1 21367 -1.82265680 1.33124223 -104.430542 76.274561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33125360-1.33124223) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dl = 72.4382699997135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33125360-1.33124223) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dr = 72.4382699997135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.82270473--1.82265680) × cos(1.33125360) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23725843476195 × 6371000     		do = 72.4497172735759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.82270473--1.82265680) × cos(1.33124223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237269480094096 × 6371000     		du = 72.453090098622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33125360)-sin(1.33124223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23725843476195-0.237269480094096)×R²
    abs(-1.82265680--1.82270473)×1.10453321457149e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10453321457149e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10453321457149e-05×40589641000000     		ar = 5248.2543421484m²