Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27512 / 6360
↖ ↑ ↗
← N 80.907615°
W 28.872070°		 ← 96.52 m → N 80.907615°
W 28.866577°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 80.906747°
W 28.872070°		 ← 96.53 m →
9 317 m²		 N 80.906747°
W 28.866577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419807434082031 y=0.0970535278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419807434082031 × 216)
    floor (0.419807434082031 × 65536)
    floor (27512.5)     		tx = 27512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970535278320312 × 216)
    floor (0.0970535278320312 × 65536)
    floor (6360.5)     		ty = 6360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27512 / 6360 ti = "16/27512/6360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27512/6360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27512 ÷ 216
    27512 ÷ 65536     		x = 0.4197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6360 ÷ 216
    6360 ÷ 65536     		y = 0.0970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4197998046875 × 2 - 1) × π
    -0.160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50391269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970458984375 × 2 - 1) × π
    0.805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53183529033289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50391269} λ = -0.50391269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53183529033289))-π/2
    2×atan(12.5765666199929)-π/2
    2×1.4914503055973-π/2
    2.98290061119459-1.57079632675     		φ = 1.41210428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50391269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.872070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41210428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.907615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27512 KachelY 6360 -0.50391269 1.41210428 -28.872070 80.907615
    Oben rechts KachelX + 1 27513 KachelY 6360 -0.50381682 1.41210428 -28.866577 80.907615
    Unten links KachelX 27512 KachelY + 1 6361 -0.50391269 1.41208913 -28.872070 80.906747
    Unten rechts KachelX + 1 27513 KachelY + 1 6361 -0.50381682 1.41208913 -28.866577 80.906747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41210428-1.41208913) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41210428-1.41208913) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50391269--0.50381682) × cos(1.41210428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158026823616833 × 6371000     		do = 96.5208511971066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50391269--0.50381682) × cos(1.41208913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158041783236214 × 6371000     		du = 96.5299883496686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41210428)-sin(1.41208913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158026823616833-0.158041783236214)×R²
    abs(-0.50381682--0.50391269)×1.49596193815271e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49596193815271e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49596193815271e-05×40589641000000     		ar = 9316.69625817531m²