Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27510 / 8826
↖ ↑ ↗
← N 78.497126°
W 28.883057°		 ← 121.81 m → N 78.497126°
W 28.877563°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
N 78.496030°
W 28.883057°		 ← 121.83 m →
14 839 m²		 N 78.496030°
W 28.877563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419776916503906 y=0.134681701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419776916503906 × 216)
    floor (0.419776916503906 × 65536)
    floor (27510.5)     		tx = 27510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134681701660156 × 216)
    floor (0.134681701660156 × 65536)
    floor (8826.5)     		ty = 8826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27510 / 8826 ti = "16/27510/8826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27510/8826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27510 ÷ 216
    27510 ÷ 65536     		x = 0.419769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8826 ÷ 216
    8826 ÷ 65536     		y = 0.134674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.16046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50410444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134674072265625 × 2 - 1) × π
    0.73065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29541050140677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50410444} λ = -0.50410444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29541050140677))-π/2
    2×atan(9.92851084353454)-π/2
    2×1.47041481528138-π/2
    2.94082963056276-1.57079632675     		φ = 1.37003330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50410444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.883057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37003330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.497126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27510 KachelY 8826 -0.50410444 1.37003330 -28.883057 78.497126
    Oben rechts KachelX + 1 27511 KachelY 8826 -0.50400856 1.37003330 -28.877563 78.497126
    Unten links KachelX 27510 KachelY + 1 8827 -0.50410444 1.37001418 -28.883057 78.496030
    Unten rechts KachelX + 1 27511 KachelY + 1 8827 -0.50400856 1.37001418 -28.877563 78.496030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37003330-1.37001418) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dl = 121.813519999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37003330-1.37001418) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dr = 121.813519999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50410444--0.50400856) × cos(1.37003330) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.199417089948551 × 6371000     		do = 121.814224532285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50410444--0.50400856) × cos(1.37001418) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.199435825881211 × 6371000     		du = 121.82566940448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37003330)-sin(1.37001418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199417089948551-0.199435825881211)×R²
    abs(-0.50400856--0.50410444)×1.8735932660302e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.8735932660302e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.8735932660302e-05×40589641000000     		ar = 14839.3165467789m²