Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27507 / 9362
↖ ↑ ↗
← N 77.894951°
W 28.899536°		 ← 128.10 m → N 77.894951°
W 28.894043°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 77.893800°
W 28.899536°		 ← 128.11 m →
16 405 m²		 N 77.893800°
W 28.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419731140136719 y=0.142860412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419731140136719 × 216)
    floor (0.419731140136719 × 65536)
    floor (27507.5)     		tx = 27507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142860412597656 × 216)
    floor (0.142860412597656 × 65536)
    floor (9362.5)     		ty = 9362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27507 / 9362 ti = "16/27507/9362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27507/9362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27507 ÷ 216
    27507 ÷ 65536     		x = 0.419723510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9362 ÷ 216
    9362 ÷ 65536     		y = 0.142852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419723510742188 × 2 - 1) × π
    -0.160552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50439206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142852783203125 × 2 - 1) × π
    0.71429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24402214501407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50439206} λ = -0.50439206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24402214501407))-π/2
    2×atan(9.43118871103283)-π/2
    2×1.4651598506306-π/2
    2.93031970126119-1.57079632675     		φ = 1.35952337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50439206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.899536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35952337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.894951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27507 KachelY 9362 -0.50439206 1.35952337 -28.899536 77.894951
    Oben rechts KachelX + 1 27508 KachelY 9362 -0.50429618 1.35952337 -28.894043 77.894951
    Unten links KachelX 27507 KachelY + 1 9363 -0.50439206 1.35950327 -28.899536 77.893800
    Unten rechts KachelX + 1 27508 KachelY + 1 9363 -0.50429618 1.35950327 -28.894043 77.893800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35952337-1.35950327) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35952337-1.35950327) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50439206--0.50429618) × cos(1.35952337) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209704721712214 × 6371000     		do = 128.098439620958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50439206--0.50429618) × cos(1.35950327) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209724374741566 × 6371000     		du = 128.110444703024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35952337)-sin(1.35950327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209704721712214-0.209724374741566)×R²
    abs(-0.50429618--0.50439206)×1.96530293522235e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.96530293522235e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.96530293522235e-05×40589641000000     		ar = 16404.6833607274m²