Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27506 / 9350
↖ ↑ ↗
← N 77.908767°
W 28.905029°		 ← 127.94 m → N 77.908767°
W 28.899536°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
N 77.907616°
W 28.905029°		 ← 127.95 m →
16 368 m²		 N 77.907616°
W 28.899536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419715881347656 y=0.142677307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419715881347656 × 216)
    floor (0.419715881347656 × 65536)
    floor (27506.5)     		tx = 27506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142677307128906 × 216)
    floor (0.142677307128906 × 65536)
    floor (9350.5)     		ty = 9350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27506 / 9350 ti = "16/27506/9350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27506/9350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27506 ÷ 216
    27506 ÷ 65536     		x = 0.419708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9350 ÷ 216
    9350 ÷ 65536     		y = 0.142669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.16058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50448793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142669677734375 × 2 - 1) × π
    0.71466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24517263060495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50448793} λ = -0.50448793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24517263060495))-π/2
    2×atan(9.44204540178539)-π/2
    2×1.46528041393345-π/2
    2.9305608278669-1.57079632675     		φ = 1.35976450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50448793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.905029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35976450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.908767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27506 KachelY 9350 -0.50448793 1.35976450 -28.905029 77.908767
    Oben rechts KachelX + 1 27507 KachelY 9350 -0.50439206 1.35976450 -28.899536 77.908767
    Unten links KachelX 27506 KachelY + 1 9351 -0.50448793 1.35974442 -28.905029 77.907616
    Unten rechts KachelX + 1 27507 KachelY + 1 9351 -0.50439206 1.35974442 -28.899536 77.907616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35976450-1.35974442) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dl = 127.929680000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35976450-1.35974442) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dr = 127.929680000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50448793--0.50439206) × cos(1.35976450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20946894720095 × 6371000     		do = 127.941071145113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50448793--0.50439206) × cos(1.35974442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209488581689935 × 6371000     		du = 127.953063650856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35976450)-sin(1.35974442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20946894720095-0.209488581689935)×R²
    abs(-0.50439206--0.50448793)×1.96344889854261e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96344889854261e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96344889854261e-05×40589641000000     		ar = 16368.2273897584m²