Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27502 / 9111
↖ ↑ ↗
← N 78.180713°
W 28.927002°		 ← 125.12 m → N 78.180713°
W 28.921509°		 →
↑
125.13 m
↓
↑
125.13 m
↓
N 78.179588°
W 28.927002°		 ← 125.13 m →
15 656 m²		 N 78.179588°
W 28.921509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419654846191406 y=0.139030456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419654846191406 × 216)
    floor (0.419654846191406 × 65536)
    floor (27502.5)     		tx = 27502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139030456542969 × 216)
    floor (0.139030456542969 × 65536)
    floor (9111.5)     		ty = 9111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27502 / 9111 ti = "16/27502/9111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27502/9111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27502 ÷ 216
    27502 ÷ 65536     		x = 0.419647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9111 ÷ 216
    9111 ÷ 65536     		y = 0.139022827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.16070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50487143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139022827148438 × 2 - 1) × π
    0.721954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26808646862334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50487143} λ = -0.50487143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26808646862334))-π/2
    2×atan(9.66089668666824)-π/2
    2×1.46765358826459-π/2
    2.93530717652918-1.57079632675     		φ = 1.36451085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50487143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.927002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36451085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.180713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27502 KachelY 9111 -0.50487143 1.36451085 -28.927002 78.180713
    Oben rechts KachelX + 1 27503 KachelY 9111 -0.50477555 1.36451085 -28.921509 78.180713
    Unten links KachelX 27502 KachelY + 1 9112 -0.50487143 1.36449121 -28.927002 78.179588
    Unten rechts KachelX + 1 27503 KachelY + 1 9112 -0.50477555 1.36449121 -28.921509 78.179588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36451085-1.36449121) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dl = 125.126440000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36451085-1.36449121) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dr = 125.126440000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50487143--0.50477555) × cos(1.36451085) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.204825551542235 × 6371000     		do = 125.117991301453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50487143--0.50477555) × cos(1.36449121) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.204844775105168 × 6371000     		du = 125.129734043322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36451085)-sin(1.36449121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204825551542235-0.204844775105168)×R²
    abs(-0.50477555--0.50487143)×1.92235629332127e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.92235629332127e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.92235629332127e-05×40589641000000     		ar = 15656.3034957962m²