Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27500 / 9354
↖ ↑ ↗
← N 77.904164°
W 28.937988°		 ← 127.99 m → N 77.904164°
W 28.932495°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 77.903012°
W 28.937988°		 ← 128 m →
16 391 m²		 N 77.903012°
W 28.932495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419624328613281 y=0.142738342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419624328613281 × 216)
    floor (0.419624328613281 × 65536)
    floor (27500.5)     		tx = 27500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142738342285156 × 216)
    floor (0.142738342285156 × 65536)
    floor (9354.5)     		ty = 9354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27500 / 9354 ti = "16/27500/9354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27500/9354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27500 ÷ 216
    27500 ÷ 65536     		x = 0.41961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9354 ÷ 216
    9354 ÷ 65536     		y = 0.142730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41961669921875 × 2 - 1) × π
    -0.1607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50506317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142730712890625 × 2 - 1) × π
    0.71453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24478913540799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50506317} λ = -0.50506317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24478913540799))-π/2
    2×atan(9.43842511694961)-π/2
    2×1.46524024123445-π/2
    2.93048048246891-1.57079632675     		φ = 1.35968416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50506317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.937988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35968416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.904164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27500 KachelY 9354 -0.50506317 1.35968416 -28.937988 77.904164
    Oben rechts KachelX + 1 27501 KachelY 9354 -0.50496730 1.35968416 -28.932495 77.904164
    Unten links KachelX 27500 KachelY + 1 9355 -0.50506317 1.35966406 -28.937988 77.903012
    Unten rechts KachelX + 1 27501 KachelY + 1 9355 -0.50496730 1.35966406 -28.932495 77.903012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35968416-1.35966406) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35968416-1.35966406) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50506317--0.50496730) × cos(1.35968416) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209547504206026 × 6371000     		do = 127.989052803061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50506317--0.50496730) × cos(1.35966406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209567157912896 × 6371000     		du = 128.001057046853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35968416)-sin(1.35966406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209547504206026-0.209567157912896)×R²
    abs(-0.50496730--0.50506317)×1.96537068702096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96537068702096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96537068702096e-05×40589641000000     		ar = 16390.6755486787m²