Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27500 / 9110
↖ ↑ ↗
← N 78.181838°
W 28.937988°		 ← 125.09 m → N 78.181838°
W 28.932495°		 →
↑
125.13 m
↓
↑
125.13 m
↓
N 78.180713°
W 28.937988°		 ← 125.10 m →
15 653 m²		 N 78.180713°
W 28.932495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419624328613281 y=0.139015197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419624328613281 × 216)
    floor (0.419624328613281 × 65536)
    floor (27500.5)     		tx = 27500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139015197753906 × 216)
    floor (0.139015197753906 × 65536)
    floor (9110.5)     		ty = 9110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27500 / 9110 ti = "16/27500/9110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27500/9110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27500 ÷ 216
    27500 ÷ 65536     		x = 0.41961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9110 ÷ 216
    9110 ÷ 65536     		y = 0.139007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41961669921875 × 2 - 1) × π
    -0.1607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50506317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139007568359375 × 2 - 1) × π
    0.72198486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26818234242258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50506317} λ = -0.50506317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26818234242258))-π/2
    2×atan(9.66182295793952)-π/2
    2×1.46766340650582-π/2
    2.93532681301164-1.57079632675     		φ = 1.36453049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50506317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.937988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36453049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.181838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27500 KachelY 9110 -0.50506317 1.36453049 -28.937988 78.181838
    Oben rechts KachelX + 1 27501 KachelY 9110 -0.50496730 1.36453049 -28.932495 78.181838
    Unten links KachelX 27500 KachelY + 1 9111 -0.50506317 1.36451085 -28.937988 78.180713
    Unten rechts KachelX + 1 27501 KachelY + 1 9111 -0.50496730 1.36451085 -28.932495 78.180713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36453049-1.36451085) × R
    1.96399999998764e-05 × 6371000     		dl = 125.126439999213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36453049-1.36451085) × R
    1.96399999998764e-05 × 6371000     		dr = 125.126439999213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50506317--0.50496730) × cos(1.36453049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204806327900294 × 6371000     		do = 125.093200300107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50506317--0.50496730) × cos(1.36451085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204825551542235 × 6371000     		du = 125.104941865499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36453049)-sin(1.36451085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204806327900294-0.204825551542235)×R²
    abs(-0.50496730--0.50506317)×1.92236419402914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92236419402914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92236419402914e-05×40589641000000     		ar = 15653.2014124739m²