Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 275 / 808
↖ ↑ ↗
← S 71.524909°
W 83.320313°		 ← 12.388 km → S 71.524909°
W 82.968750°		 →
↑
12.352 km
↓
↑
12.352 km
↓
S 71.635993°
W 83.320313°		 ← 12.316 km →
152.572 km²		 S 71.635993°
W 82.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26904296875 y=0.78955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26904296875 × 210)
    floor (0.26904296875 × 1024)
    floor (275.5)     		tx = 275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78955078125 × 210)
    floor (0.78955078125 × 1024)
    floor (808.5)     		ty = 808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 275 / 808 ti = "10/275/808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/275/808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 275 ÷ 210
    275 ÷ 1024     		x = 0.2685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 808 ÷ 210
    808 ÷ 1024     		y = 0.7890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2685546875 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45421379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7890625 × 2 - 1) × π
    -0.578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45421379} λ = -1.45421379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81623325280469))-π/2
    2×atan(0.16263721186318)-π/2
    2×0.161225583460261-π/2
    0.322451166920523-1.57079632675     		φ = -1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45421379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.320313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 275 KachelY 808 -1.45421379 -1.24834516 -83.320313 -71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 276 KachelY 808 -1.44807786 -1.24834516 -82.968750 -71.524909
    Unten links KachelX 275 KachelY + 1 809 -1.45421379 -1.25028394 -83.320313 -71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 276 KachelY + 1 809 -1.44807786 -1.25028394 -82.968750 -71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24834516--1.25028394) × R
    0.00193878000000014 × 6371000     		dl = 12351.9673800009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24834516--1.25028394) × R
    0.00193878000000014 × 6371000     		dr = 12351.9673800009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45421379--1.44807786) × cos(-1.24834516) × R
    0.00613593000000012 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 12387.9588320479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45421379--1.44807786) × cos(-1.25028394) × R
    0.00613593000000012 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 12316.0509311301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24834516)-sin(-1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.315052894995122)×R²
    abs(-1.44807786--1.45421379)×0.00183945263655283×R²
    0.00613593000000012×0.00183945263655283×6371000²
    0.00613593000000012×0.00183945263655283×40589641000000     		ar = 152571609.166365m²