Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 275 / 805
↖ ↑ ↗
← S 71.187754°
W 83.320313°		 ← 12.606 km → S 71.187754°
W 82.968750°		 →
↑
12.569 km
↓
↑
12.569 km
↓
S 71.300793°
W 83.320313°		 ← 12.533 km →
157.990 km²		 S 71.300793°
W 82.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26904296875 y=0.78662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26904296875 × 210)
    floor (0.26904296875 × 1024)
    floor (275.5)     		tx = 275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78662109375 × 210)
    floor (0.78662109375 × 1024)
    floor (805.5)     		ty = 805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 275 / 805 ti = "10/275/805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/275/805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 275 ÷ 210
    275 ÷ 1024     		x = 0.2685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 805 ÷ 210
    805 ÷ 1024     		y = 0.7861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2685546875 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45421379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7861328125 × 2 - 1) × π
    -0.572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79782548335059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45421379} λ = -1.45421379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79782548335059))-π/2
    2×atan(0.165658724499351)-π/2
    2×0.164167816920288-π/2
    0.328335633840577-1.57079632675     		φ = -1.24246069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45421379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.320313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24246069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.187754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 275 KachelY 805 -1.45421379 -1.24246069 -83.320313 -71.187754
    Oben rechts KachelX + 1 276 KachelY 805 -1.44807786 -1.24246069 -82.968750 -71.187754
    Unten links KachelX 275 KachelY + 1 806 -1.45421379 -1.24443360 -83.320313 -71.300793
    Unten rechts KachelX + 1 276 KachelY + 1 806 -1.44807786 -1.24443360 -82.968750 -71.300793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24246069--1.24443360) × R
    0.00197291000000011 × 6371000     		dl = 12569.4096100007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24246069--1.24443360) × R
    0.00197291000000011 × 6371000     		dr = 12569.4096100007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45421379--1.44807786) × cos(-1.24246069) × R
    0.00613593000000012 × 0.322468022238295 × 6371000     		do = 12605.9231596939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45421379--1.44807786) × cos(-1.24443360) × R
    0.00613593000000012 × 0.320599878012355 × 6371000     		du = 12532.893646876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24246069)-sin(-1.24443360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322468022238295-0.320599878012355)×R²
    abs(-1.44807786--1.45421379)×0.00186814422593978×R²
    0.00613593000000012×0.00186814422593978×6371000²
    0.00613593000000012×0.00186814422593978×40589641000000     		ar = 157990094.022655m²