Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 275 / 548
↖ ↑ ↗
← N 63.860036°
W131.660156°		 ← 8 611.28 m → N 63.860036°
W131.484375°		 →
↑
8 623.15 m
↓
↑
8 623.15 m
↓
N 63.782486°
W131.660156°		 ← 8 635.02 m →
74 358 724 m²		 N 63.782486°
W131.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134521484375 y=0.267822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134521484375 × 211)
    floor (0.134521484375 × 2048)
    floor (275.5)     		tx = 275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267822265625 × 211)
    floor (0.267822265625 × 2048)
    floor (548.5)     		ty = 548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 275 / 548 ti = "11/275/548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/275/548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 275 ÷ 211
    275 ÷ 2048     		x = 0.13427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 548 ÷ 211
    548 ÷ 2048     		y = 0.267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    -0.7314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.29790322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267578125 × 2 - 1) × π
    0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29790322} λ = -2.29790322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46034971002539))-π/2
    2×atan(4.30746562889508)-π/2
    2×1.34268210679646-π/2
    2.68536421359292-1.57079632675     		φ = 1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29790322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 275 KachelY 548 -2.29790322 1.11456789 -131.660156 63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 276 KachelY 548 -2.29483526 1.11456789 -131.484375 63.860036
    Unten links KachelX 275 KachelY + 1 549 -2.29790322 1.11321439 -131.660156 63.782486
    Unten rechts KachelX + 1 276 KachelY + 1 549 -2.29483526 1.11321439 -131.484375 63.782486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11456789-1.11321439) × R
    0.00135350000000001 × 6371000     		dl = 8623.14850000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11456789-1.11321439) × R
    0.00135350000000001 × 6371000     		dr = 8623.14850000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29790322--2.29483526) × cos(1.11456789) × R
    0.00306795999999965 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 8611.28024278868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29790322--2.29483526) × cos(1.11321439) × R
    0.00306795999999965 × 0.44178009961464 × 6371000     		du = 8635.02196968889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11456789)-sin(1.11321439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.44178009961464)×R²
    abs(-2.29483526--2.29790322)×0.00121466077467008×R²
    0.00306795999999965×0.00121466077467008×6371000²
    0.00306795999999965×0.00121466077467008×40589641000000     		ar = 74358723.8789144m²