Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 275 / 372
↖ ↑ ↗
← S 62.915233°
E 13.359375°		 ← 35.598 km → S 62.915233°
E 14.062500°		 →
↑
35.404 km
↓
↑
35.404 km
↓
S 63.233628°
E 13.359375°		 ← 35.210 km →
1 253.44 km²		 S 63.233628°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5380859375 y=0.7275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5380859375 × 29)
    floor (0.5380859375 × 512)
    floor (275.5)     		tx = 275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7275390625 × 29)
    floor (0.7275390625 × 512)
    floor (372.5)     		ty = 372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 275 / 372 ti = "9/275/372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/275/372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 275 ÷ 29
    275 ÷ 512     		x = 0.537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 372 ÷ 29
    372 ÷ 512     		y = 0.7265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537109375 × 2 - 1) × π
    0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7265625 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23316508} λ = 0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42353417111719))-π/2
    2×atan(0.240861265971343)-π/2
    2×0.236359180307522-π/2
    0.472718360615044-1.57079632675     		φ = -1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 275 KachelY 372 0.23316508 -1.09807797 13.359375 -62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 276 KachelY 372 0.24543693 -1.09807797 14.062500 -62.915233
    Unten links KachelX 275 KachelY + 1 373 0.23316508 -1.10363500 13.359375 -63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 276 KachelY + 1 373 0.24543693 -1.10363500 14.062500 -63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09807797--1.10363500) × R
    0.00555702999999985 × 6371000     		dl = 35403.8381299991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09807797--1.10363500) × R
    0.00555702999999985 × 6371000     		dr = 35403.8381299991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23316508-0.24543693) × cos(-1.09807797) × R
    0.01227185 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 35597.7972020667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23316508-0.24543693) × cos(-1.10363500) × R
    0.01227185 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 35210.4256630703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09807797)-sin(-1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.450353593075369)×R²
    abs(0.24543693-0.23316508)×0.00495461674083425×R²
    0.01227185×0.00495461674083425×6371000²
    0.01227185×0.00495461674083425×40589641000000     		ar = 1253444655.88853m²