Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27498 / 21609
↖ ↑ ↗
← N 52.130116°
W 28.948974°		 ← 374.94 m → N 52.130116°
W 28.943482°		 →
↑
375 m
↓
↑
375 m
↓
N 52.126744°
W 28.948974°		 ← 374.97 m →
140 608 m²		 N 52.126744°
W 28.943482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419593811035156 y=0.329734802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419593811035156 × 216)
    floor (0.419593811035156 × 65536)
    floor (27498.5)     		tx = 27498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329734802246094 × 216)
    floor (0.329734802246094 × 65536)
    floor (21609.5)     		ty = 21609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27498 / 21609 ti = "16/27498/21609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27498/21609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27498 ÷ 216
    27498 ÷ 65536     		x = 0.419586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21609 ÷ 216
    21609 ÷ 65536     		y = 0.329727172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.16082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50525492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329727172851562 × 2 - 1) × π
    0.340545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06985572572041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50525492} λ = -0.50525492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06985572572041))-π/2
    2×atan(2.91495891604037)-π/2
    2×1.2403192458904-π/2
    2.48063849178079-1.57079632675     		φ = 0.90984217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50525492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.948974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90984217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.130116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27498 KachelY 21609 -0.50525492 0.90984217 -28.948974 52.130116
    Oben rechts KachelX + 1 27499 KachelY 21609 -0.50515905 0.90984217 -28.943482 52.130116
    Unten links KachelX 27498 KachelY + 1 21610 -0.50525492 0.90978331 -28.948974 52.126744
    Unten rechts KachelX + 1 27499 KachelY + 1 21610 -0.50515905 0.90978331 -28.943482 52.126744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90984217-0.90978331) × R
    5.88599999999939e-05 × 6371000     		dl = 374.997059999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90984217-0.90978331) × R
    5.88599999999939e-05 × 6371000     		dr = 374.997059999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50525492--0.50515905) × cos(0.90984217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613870349219231 × 6371000     		do = 374.944501668727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50525492--0.50515905) × cos(0.90978331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613916812643747 × 6371000     		du = 374.972880960174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90984217)-sin(0.90978331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613870349219231-0.613916812643747)×R²
    abs(-0.50515905--0.50525492)×4.64634245151974e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64634245151974e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64634245151974e-05×40589641000000     		ar = 140608.406904944m²