Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27497 / 9341
↖ ↑ ↗
← N 77.919119°
W 28.954468°		 ← 127.85 m → N 77.919119°
W 28.948974°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 77.917969°
W 28.954468°		 ← 127.86 m →
16 348 m²		 N 77.917969°
W 28.948974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419578552246094 y=0.142539978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419578552246094 × 216)
    floor (0.419578552246094 × 65536)
    floor (27497.5)     		tx = 27497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142539978027344 × 216)
    floor (0.142539978027344 × 65536)
    floor (9341.5)     		ty = 9341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27497 / 9341 ti = "16/27497/9341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27497/9341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27497 ÷ 216
    27497 ÷ 65536     		x = 0.419570922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9341 ÷ 216
    9341 ÷ 65536     		y = 0.142532348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419570922851562 × 2 - 1) × π
    -0.160858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50535080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142532348632812 × 2 - 1) × π
    0.714935302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24603549479811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50535080} λ = -0.50535080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24603549479811))-π/2
    2×atan(9.45019612064881)-π/2
    2×1.46537074744603-π/2
    2.93074149489206-1.57079632675     		φ = 1.35994517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50535080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.954468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35994517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.919119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27497 KachelY 9341 -0.50535080 1.35994517 -28.954468 77.919119
    Oben rechts KachelX + 1 27498 KachelY 9341 -0.50525492 1.35994517 -28.948974 77.919119
    Unten links KachelX 27497 KachelY + 1 9342 -0.50535080 1.35992510 -28.954468 77.917969
    Unten rechts KachelX + 1 27498 KachelY + 1 9342 -0.50525492 1.35992510 -28.948974 77.917969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35994517-1.35992510) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35994517-1.35992510) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50535080--0.50525492) × cos(1.35994517) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209292281893024 × 6371000     		do = 127.846500146847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50535080--0.50525492) × cos(1.35992510) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209311907363158 × 6371000     		du = 127.858488394324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35994517)-sin(1.35992510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209292281893024-0.209311907363158)×R²
    abs(-0.50525492--0.50535080)×1.96254701337883e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.96254701337883e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.96254701337883e-05×40589641000000     		ar = 16347.9831972816m²