Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27497 / 9105
↖ ↑ ↗
← N 78.187462°
W 28.954468°		 ← 125.05 m → N 78.187462°
W 28.948974°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
N 78.186337°
W 28.954468°		 ← 125.06 m →
15 640 m²		 N 78.186337°
W 28.948974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419578552246094 y=0.138938903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419578552246094 × 216)
    floor (0.419578552246094 × 65536)
    floor (27497.5)     		tx = 27497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138938903808594 × 216)
    floor (0.138938903808594 × 65536)
    floor (9105.5)     		ty = 9105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27497 / 9105 ti = "16/27497/9105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27497/9105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27497 ÷ 216
    27497 ÷ 65536     		x = 0.419570922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9105 ÷ 216
    9105 ÷ 65536     		y = 0.138931274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419570922851562 × 2 - 1) × π
    -0.160858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50535080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138931274414062 × 2 - 1) × π
    0.722137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26866171141878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50535080} λ = -0.50535080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26866171141878))-π/2
    2×atan(9.66645564660728)-π/2
    2×1.4677124838939-π/2
    2.93542496778779-1.57079632675     		φ = 1.36462864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50535080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.954468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36462864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.187462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27497 KachelY 9105 -0.50535080 1.36462864 -28.954468 78.187462
    Oben rechts KachelX + 1 27498 KachelY 9105 -0.50525492 1.36462864 -28.948974 78.187462
    Unten links KachelX 27497 KachelY + 1 9106 -0.50535080 1.36460901 -28.954468 78.186337
    Unten rechts KachelX + 1 27498 KachelY + 1 9106 -0.50525492 1.36460901 -28.948974 78.186337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36462864-1.36460901) × R
    1.96300000001592e-05 × 6371000     		dl = 125.062730001015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36462864-1.36460901) × R
    1.96300000001592e-05 × 6371000     		dr = 125.062730001015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50535080--0.50525492) × cos(1.36462864) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204710257446874 × 6371000     		do = 125.047563732522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50535080--0.50525492) × cos(1.36460901) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204729471695352 × 6371000     		du = 125.059300784642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36462864)-sin(1.36460901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204710257446874-0.204729471695352)×R²
    abs(-0.50525492--0.50535080)×1.92142484787272e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.92142484787272e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.92142484787272e-05×40589641000000     		ar = 15639.5236351559m²