Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27491 / 9487
↖ ↑ ↗
← N 77.750112°
W 28.987427°		 ← 129.61 m → N 77.750112°
W 28.981933°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
N 77.748946°
W 28.987427°		 ← 129.62 m →
16 804 m²		 N 77.748946°
W 28.981933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419486999511719 y=0.144767761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419486999511719 × 216)
    floor (0.419486999511719 × 65536)
    floor (27491.5)     		tx = 27491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144767761230469 × 216)
    floor (0.144767761230469 × 65536)
    floor (9487.5)     		ty = 9487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27491 / 9487 ti = "16/27491/9487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27491/9487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27491 ÷ 216
    27491 ÷ 65536     		x = 0.419479370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9487 ÷ 216
    9487 ÷ 65536     		y = 0.144760131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419479370117188 × 2 - 1) × π
    -0.161041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50592604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144760131835938 × 2 - 1) × π
    0.710479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23203792010905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50592604} λ = -0.50592604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23203792010905))-π/2
    2×atan(9.31883778842608)-π/2
    2×1.46389588677125-π/2
    2.9277917735425-1.57079632675     		φ = 1.35699545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50592604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.987427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35699545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.750112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27491 KachelY 9487 -0.50592604 1.35699545 -28.987427 77.750112
    Oben rechts KachelX + 1 27492 KachelY 9487 -0.50583016 1.35699545 -28.981933 77.750112
    Unten links KachelX 27491 KachelY + 1 9488 -0.50592604 1.35697510 -28.987427 77.748946
    Unten rechts KachelX + 1 27492 KachelY + 1 9488 -0.50583016 1.35697510 -28.981933 77.748946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35699545-1.35697510) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35699545-1.35697510) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50592604--0.50583016) × cos(1.35699545) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.212175760130666 × 6371000     		do = 129.607877095857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50592604--0.50583016) × cos(1.35697510) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.212195646748196 × 6371000     		du = 129.620024865607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35699545)-sin(1.35697510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212175760130666-0.212195646748196)×R²
    abs(-0.50583016--0.50592604)×1.98866175298573e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.98866175298573e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.98866175298573e-05×40589641000000     		ar = 16804.4293029106m²