Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27490 / 21405
↖ ↑ ↗
← N 52.812723°
W 28.992920°		 ← 369.17 m → N 52.812723°
W 28.987427°		 →
↑
369.20 m
↓
↑
369.20 m
↓
N 52.809403°
W 28.992920°		 ← 369.20 m →
136 304 m²		 N 52.809403°
W 28.987427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419471740722656 y=0.326622009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419471740722656 × 216)
    floor (0.419471740722656 × 65536)
    floor (27490.5)     		tx = 27490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326622009277344 × 216)
    floor (0.326622009277344 × 65536)
    floor (21405.5)     		ty = 21405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27490 / 21405 ti = "16/27490/21405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27490/21405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27490 ÷ 216
    27490 ÷ 65536     		x = 0.419464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21405 ÷ 216
    21405 ÷ 65536     		y = 0.326614379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.16107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50602191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326614379882812 × 2 - 1) × π
    0.346771240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0894139807654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50602191} λ = -0.50602191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0894139807654))-π/2
    2×atan(2.97253160135825)-π/2
    2×1.24627611615118-π/2
    2.49255223230236-1.57079632675     		φ = 0.92175591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50602191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.992920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92175591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.812723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27490 KachelY 21405 -0.50602191 0.92175591 -28.992920 52.812723
    Oben rechts KachelX + 1 27491 KachelY 21405 -0.50592604 0.92175591 -28.987427 52.812723
    Unten links KachelX 27490 KachelY + 1 21406 -0.50602191 0.92169796 -28.992920 52.809403
    Unten rechts KachelX + 1 27491 KachelY + 1 21406 -0.50592604 0.92169796 -28.987427 52.809403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92175591-0.92169796) × R
    5.79499999999733e-05 × 6371000     		dl = 369.19944999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92175591-0.92169796) × R
    5.79499999999733e-05 × 6371000     		dr = 369.19944999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50602191--0.50592604) × cos(0.92175591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604422218582554 × 6371000     		do = 369.173699026482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50602191--0.50592604) × cos(0.92169796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604468384255636 × 6371000     		du = 369.201896454995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92175591)-sin(0.92169796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604422218582554-0.604468384255636)×R²
    abs(-0.50592604--0.50602191)×4.61656730820215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61656730820215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61656730820215e-05×40589641000000     		ar = 136303.931910586m²