Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27488 / 21344
↖ ↑ ↗
← N 76.289542°
W104.501953°		 ← 72.39 m → N 76.289542°
W104.499207°		 →
↑
72.44 m
↓
↑
72.44 m
↓
N 76.288890°
W104.501953°		 ← 72.39 m →
5 244 m²		 N 76.288890°
W104.499207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.209720611572266 y=0.162845611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.209720611572266 × 217)
    floor (0.209720611572266 × 131072)
    floor (27488.5)     		tx = 27488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162845611572266 × 217)
    floor (0.162845611572266 × 131072)
    floor (21344.5)     		ty = 21344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27488 / 21344 ti = "17/27488/21344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27488/21344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27488 ÷ 217
    27488 ÷ 131072     		x = 0.209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21344 ÷ 217
    21344 ÷ 131072     		y = 0.162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.58056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.82390316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162841796875 × 2 - 1) × π
    0.67431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11842746800952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.82390316} λ = -1.82390316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11842746800952))-π/2
    2×atan(8.31804680292912)-π/2
    2×1.45115000643608-π/2
    2.90230001287217-1.57079632675     		φ = 1.33150369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.82390316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33150369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.289542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27488 KachelY 21344 -1.82390316 1.33150369 -104.501953 76.289542
    Oben rechts KachelX + 1 27489 KachelY 21344 -1.82385522 1.33150369 -104.499207 76.289542
    Unten links KachelX 27488 KachelY + 1 21345 -1.82390316 1.33149232 -104.501953 76.288890
    Unten rechts KachelX + 1 27489 KachelY + 1 21345 -1.82385522 1.33149232 -104.499207 76.288890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33150369-1.33149232) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dl = 72.4382699997135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33150369-1.33149232) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dr = 72.4382699997135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.82390316--1.82385522) × cos(1.33150369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237015478272542 × 6371000     		do = 72.3906278427975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.82390316--1.82385522) × cos(1.33149232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237026524279008 × 6371000     		du = 72.3940015774964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33150369)-sin(1.33149232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237015478272542-0.237026524279008)×R²
    abs(-1.82385522--1.82390316)×1.10460064658702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10460064658702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10460064658702e-05×40589641000000     		ar = 5243.97403903286m²