Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27487 / 7160
↖ ↑ ↗
← N 80.186207°
W 29.009399°		 ← 104.11 m → N 80.186207°
W 29.003906°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
N 80.185270°
W 29.009399°		 ← 104.12 m →
10 838 m²		 N 80.185270°
W 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419425964355469 y=0.109260559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419425964355469 × 216)
    floor (0.419425964355469 × 65536)
    floor (27487.5)     		tx = 27487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109260559082031 × 216)
    floor (0.109260559082031 × 65536)
    floor (7160.5)     		ty = 7160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27487 / 7160 ti = "16/27487/7160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27487/7160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27487 ÷ 216
    27487 ÷ 65536     		x = 0.419418334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7160 ÷ 216
    7160 ÷ 65536     		y = 0.1092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419418334960938 × 2 - 1) × π
    -0.161163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50630953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1092529296875 × 2 - 1) × π
    0.781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4551362509408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50630953} λ = -0.50630953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4551362509408))-π/2
    2×atan(11.6480204945164)-π/2
    2×1.4851548238579-π/2
    2.9703096477158-1.57079632675     		φ = 1.39951332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50630953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.009399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39951332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.186207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27487 KachelY 7160 -0.50630953 1.39951332 -29.009399 80.186207
    Oben rechts KachelX + 1 27488 KachelY 7160 -0.50621366 1.39951332 -29.003906 80.186207
    Unten links KachelX 27487 KachelY + 1 7161 -0.50630953 1.39949698 -29.009399 80.185270
    Unten rechts KachelX + 1 27488 KachelY + 1 7161 -0.50621366 1.39949698 -29.003906 80.185270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39951332-1.39949698) × R
    1.63400000001701e-05 × 6371000     		dl = 104.102140001084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39951332-1.39949698) × R
    1.63400000001701e-05 × 6371000     		dr = 104.102140001084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50630953--0.50621366) × cos(1.39951332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17044672142691 × 6371000     		do = 104.106772884151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50630953--0.50621366) × cos(1.39949698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170462822299198 × 6371000     		du = 104.116607100031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39951332)-sin(1.39949698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17044672142691-0.170462822299198)×R²
    abs(-0.50621366--0.50630953)×1.61008722878719e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61008722878719e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61008722878719e-05×40589641000000     		ar = 10838.2497274255m²