Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27486 / 9475
↖ ↑ ↗
← N 77.764090°
W 29.014893°		 ← 129.46 m → N 77.764090°
W 29.009399°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 77.762926°
W 29.014893°		 ← 129.47 m →
16 761 m²		 N 77.762926°
W 29.009399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419410705566406 y=0.144584655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419410705566406 × 216)
    floor (0.419410705566406 × 65536)
    floor (27486.5)     		tx = 27486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144584655761719 × 216)
    floor (0.144584655761719 × 65536)
    floor (9475.5)     		ty = 9475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27486 / 9475 ti = "16/27486/9475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27486/9475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27486 ÷ 216
    27486 ÷ 65536     		x = 0.419403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9475 ÷ 216
    9475 ÷ 65536     		y = 0.144577026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.16119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50640541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144577026367188 × 2 - 1) × π
    0.710845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23318840569994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50640541} λ = -0.50640541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23318840569994))-π/2
    2×atan(9.32956514667773)-π/2
    2×1.46401787076366-π/2
    2.92803574152732-1.57079632675     		φ = 1.35723941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50640541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.014893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35723941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.764090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27486 KachelY 9475 -0.50640541 1.35723941 -29.014893 77.764090
    Oben rechts KachelX + 1 27487 KachelY 9475 -0.50630953 1.35723941 -29.009399 77.764090
    Unten links KachelX 27486 KachelY + 1 9476 -0.50640541 1.35721909 -29.014893 77.762926
    Unten rechts KachelX + 1 27487 KachelY + 1 9476 -0.50630953 1.35721909 -29.009399 77.762926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35723941-1.35721909) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35723941-1.35721909) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50640541--0.50630953) × cos(1.35723941) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.211937348417043 × 6371000     		do = 129.462242947742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50640541--0.50630953) × cos(1.35721909) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.211957206769027 × 6371000     		du = 129.474373451441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35723941)-sin(1.35721909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211937348417043-0.211957206769027)×R²
    abs(-0.50630953--0.50640541)×1.98583519838424e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.98583519838424e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.98583519838424e-05×40589641000000     		ar = 16760.801460492m²