Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27484 / 8724
↖ ↑ ↗
← N 78.608326°
W 29.025879°		 ← 120.65 m → N 78.608326°
W 29.020386°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
N 78.607241°
W 29.025879°		 ← 120.66 m →
14 552 m²		 N 78.607241°
W 29.020386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419380187988281 y=0.133125305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419380187988281 × 216)
    floor (0.419380187988281 × 65536)
    floor (27484.5)     		tx = 27484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133125305175781 × 216)
    floor (0.133125305175781 × 65536)
    floor (8724.5)     		ty = 8724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27484 / 8724 ti = "16/27484/8724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27484/8724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27484 ÷ 216
    27484 ÷ 65536     		x = 0.41937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8724 ÷ 216
    8724 ÷ 65536     		y = 0.13311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41937255859375 × 2 - 1) × π
    -0.1612548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50659716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13311767578125 × 2 - 1) × π
    0.7337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30518962892926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50659716} λ = -0.50659716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30518962892926))-π/2
    2×atan(10.0260793068554)-π/2
    2×1.47138522024515-π/2
    2.94277044049029-1.57079632675     		φ = 1.37197411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50659716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.025879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37197411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.608326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27484 KachelY 8724 -0.50659716 1.37197411 -29.025879 78.608326
    Oben rechts KachelX + 1 27485 KachelY 8724 -0.50650128 1.37197411 -29.020386 78.608326
    Unten links KachelX 27484 KachelY + 1 8725 -0.50659716 1.37195518 -29.025879 78.607241
    Unten rechts KachelX + 1 27485 KachelY + 1 8725 -0.50650128 1.37195518 -29.020386 78.607241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37197411-1.37195518) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37197411-1.37195518) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50659716--0.50650128) × cos(1.37197411) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197514887312289 × 6371000     		do = 120.652261236666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50659716--0.50650128) × cos(1.37195518) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197533444353768 × 6371000     		du = 120.663596832918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37197411)-sin(1.37195518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197514887312289-0.197533444353768)×R²
    abs(-0.50650128--0.50659716)×1.85570414786285e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.85570414786285e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.85570414786285e-05×40589641000000     		ar = 14551.7118355282m²