Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27481 / 9391
↖ ↑ ↗
← N 77.861500°
W 29.042359°		 ← 128.45 m → N 77.861500°
W 29.036865°		 →
↑
128.44 m
↓
↑
128.44 m
↓
N 77.860345°
W 29.042359°		 ← 128.46 m →
16 498 m²		 N 77.860345°
W 29.036865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419334411621094 y=0.143302917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419334411621094 × 216)
    floor (0.419334411621094 × 65536)
    floor (27481.5)     		tx = 27481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143302917480469 × 216)
    floor (0.143302917480469 × 65536)
    floor (9391.5)     		ty = 9391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27481 / 9391 ti = "16/27481/9391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27481/9391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27481 ÷ 216
    27481 ÷ 65536     		x = 0.419326782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9391 ÷ 216
    9391 ÷ 65536     		y = 0.143295288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419326782226562 × 2 - 1) × π
    -0.161346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50688478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143295288085938 × 2 - 1) × π
    0.713409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24124180483611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50688478} λ = -0.50688478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24124180483611))-π/2
    2×atan(9.40500321729222)-π/2
    2×1.46486792880389-π/2
    2.92973585760779-1.57079632675     		φ = 1.35893953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50688478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.042359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35893953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.861500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27481 KachelY 9391 -0.50688478 1.35893953 -29.042359 77.861500
    Oben rechts KachelX + 1 27482 KachelY 9391 -0.50678890 1.35893953 -29.036865 77.861500
    Unten links KachelX 27481 KachelY + 1 9392 -0.50688478 1.35891937 -29.042359 77.860345
    Unten rechts KachelX + 1 27482 KachelY + 1 9392 -0.50678890 1.35891937 -29.036865 77.860345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35893953-1.35891937) × R
    2.01600000000468e-05 × 6371000     		dl = 128.439360000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35893953-1.35891937) × R
    2.01600000000468e-05 × 6371000     		dr = 128.439360000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50688478--0.50678890) × cos(1.35893953) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21027554411746 × 6371000     		do = 128.44712733202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50688478--0.50678890) × cos(1.35891937) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.210295253340699 × 6371000     		du = 128.459166740206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35893953)-sin(1.35891937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21027554411746-0.210295253340699)×R²
    abs(-0.50678890--0.50688478)×1.97092232397944e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.97092232397944e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.97092232397944e-05×40589641000000     		ar = 16498.4399956568m²