Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27481 / 8263
↖ ↑ ↗
← N 79.097816°
W 29.042359°		 ← 115.53 m → N 79.097816°
W 29.036865°		 →
↑
115.51 m
↓
↑
115.51 m
↓
N 79.096777°
W 29.042359°		 ← 115.54 m →
13 345 m²		 N 79.096777°
W 29.036865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419334411621094 y=0.126091003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419334411621094 × 216)
    floor (0.419334411621094 × 65536)
    floor (27481.5)     		tx = 27481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126091003417969 × 216)
    floor (0.126091003417969 × 65536)
    floor (8263.5)     		ty = 8263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27481 / 8263 ti = "16/27481/8263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27481/8263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27481 ÷ 216
    27481 ÷ 65536     		x = 0.419326782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8263 ÷ 216
    8263 ÷ 65536     		y = 0.126083374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419326782226562 × 2 - 1) × π
    -0.161346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50688478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126083374023438 × 2 - 1) × π
    0.747833251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34938745037895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50688478} λ = -0.50688478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34938745037895))-π/2
    2×atan(10.4791487597468)-π/2
    2×1.47565682399557-π/2
    2.95131364799115-1.57079632675     		φ = 1.38051732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50688478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.042359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38051732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.097816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27481 KachelY 8263 -0.50688478 1.38051732 -29.042359 79.097816
    Oben rechts KachelX + 1 27482 KachelY 8263 -0.50678890 1.38051732 -29.036865 79.097816
    Unten links KachelX 27481 KachelY + 1 8264 -0.50688478 1.38049919 -29.042359 79.096777
    Unten rechts KachelX + 1 27482 KachelY + 1 8264 -0.50678890 1.38049919 -29.036865 79.096777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38051732-1.38049919) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dl = 115.506229999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38051732-1.38049919) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dr = 115.506229999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50688478--0.50678890) × cos(1.38051732) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18913287347632 × 6371000     		do = 115.532095679721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50688478--0.50678890) × cos(1.38049919) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189150676226003 × 6371000     		du = 115.542970515713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38051732)-sin(1.38049919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18913287347632-0.189150676226003)×R²
    abs(-0.50678890--0.50688478)×1.78027496824662e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.78027496824662e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.78027496824662e-05×40589641000000     		ar = 13345.3048717954m²