Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27480 / 6490
↖ ↑ ↗
← N 80.794070°
W 29.047852°		 ← 97.72 m → N 80.794070°
W 29.042359°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
N 80.793191°
W 29.047852°		 ← 97.73 m →
9 544 m²		 N 80.793191°
W 29.042359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419319152832031 y=0.0990371704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419319152832031 × 216)
    floor (0.419319152832031 × 65536)
    floor (27480.5)     		tx = 27480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990371704101562 × 216)
    floor (0.0990371704101562 × 65536)
    floor (6490.5)     		ty = 6490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27480 / 6490 ti = "16/27480/6490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27480/6490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27480 ÷ 216
    27480 ÷ 65536     		x = 0.4193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6490 ÷ 216
    6490 ÷ 65536     		y = 0.099029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50698065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099029541015625 × 2 - 1) × π
    0.80194091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51937169643167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50698065} λ = -0.50698065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51937169643167))-π/2
    2×atan(12.4207901846206)-π/2
    2×1.4904594303519-π/2
    2.98091886070379-1.57079632675     		φ = 1.41012253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50698065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.047852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41012253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.794070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27480 KachelY 6490 -0.50698065 1.41012253 -29.047852 80.794070
    Oben rechts KachelX + 1 27481 KachelY 6490 -0.50688478 1.41012253 -29.042359 80.794070
    Unten links KachelX 27480 KachelY + 1 6491 -0.50698065 1.41010720 -29.047852 80.793191
    Unten rechts KachelX + 1 27481 KachelY + 1 6491 -0.50688478 1.41010720 -29.042359 80.793191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41012253-1.41010720) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41012253-1.41010720) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50698065--0.50688478) × cos(1.41012253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159983360977886 × 6371000     		do = 97.7158802887856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50698065--0.50688478) × cos(1.41010720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159998493504259 × 6371000     		du = 97.7251230508235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41012253)-sin(1.41010720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159983360977886-0.159998493504259)×R²
    abs(-0.50688478--0.50698065)×1.51325263731961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51325263731961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51325263731961e-05×40589641000000     		ar = 9544.11025675986m²