Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27478 / 8754
↖ ↑ ↗
← N 78.575731°
W 29.058838°		 ← 120.99 m → N 78.575731°
W 29.053344°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
N 78.574643°
W 29.058838°		 ← 121 m →
14 639 m²		 N 78.574643°
W 29.053344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419288635253906 y=0.133583068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419288635253906 × 216)
    floor (0.419288635253906 × 65536)
    floor (27478.5)     		tx = 27478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133583068847656 × 216)
    floor (0.133583068847656 × 65536)
    floor (8754.5)     		ty = 8754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27478 / 8754 ti = "16/27478/8754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27478/8754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27478 ÷ 216
    27478 ÷ 65536     		x = 0.419281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8754 ÷ 216
    8754 ÷ 65536     		y = 0.133575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.16143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50717240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133575439453125 × 2 - 1) × π
    0.73284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30231341495206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50717240} λ = -0.50717240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30231341495206))-π/2
    2×atan(9.99728358859149)-π/2
    2×1.47110077190584-π/2
    2.94220154381167-1.57079632675     		φ = 1.37140522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50717240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.058838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37140522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.575731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27478 KachelY 8754 -0.50717240 1.37140522 -29.058838 78.575731
    Oben rechts KachelX + 1 27479 KachelY 8754 -0.50707652 1.37140522 -29.053344 78.575731
    Unten links KachelX 27478 KachelY + 1 8755 -0.50717240 1.37138623 -29.058838 78.574643
    Unten rechts KachelX + 1 27479 KachelY + 1 8755 -0.50707652 1.37138623 -29.053344 78.574643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37140522-1.37138623) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37140522-1.37138623) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50717240--0.50707652) × cos(1.37140522) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.19807253812372 × 6371000     		do = 120.992903060152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50717240--0.50707652) × cos(1.37138623) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198091151846058 × 6371000     		du = 121.00427327999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37140522)-sin(1.37138623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19807253812372-0.198091151846058)×R²
    abs(-0.50707652--0.50717240)×1.86137223374405e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.86137223374405e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.86137223374405e-05×40589641000000     		ar = 14639.0492795534m²