Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27477 / 8749
↖ ↑ ↗
← N 78.581170°
W 29.064331°		 ← 120.92 m → N 78.581170°
W 29.058838°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
N 78.580082°
W 29.064331°		 ← 120.93 m →
14 623 m²		 N 78.580082°
W 29.058838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419273376464844 y=0.133506774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419273376464844 × 216)
    floor (0.419273376464844 × 65536)
    floor (27477.5)     		tx = 27477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133506774902344 × 216)
    floor (0.133506774902344 × 65536)
    floor (8749.5)     		ty = 8749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27477 / 8749 ti = "16/27477/8749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27477/8749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27477 ÷ 216
    27477 ÷ 65536     		x = 0.419265747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8749 ÷ 216
    8749 ÷ 65536     		y = 0.133499145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419265747070312 × 2 - 1) × π
    -0.161468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50726827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133499145507812 × 2 - 1) × π
    0.733001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30279278394826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50726827} λ = -0.50726827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30279278394826))-π/2
    2×atan(10.0020771252347)-π/2
    2×1.47114823567155-π/2
    2.94229647134309-1.57079632675     		φ = 1.37150014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50726827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.064331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37150014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.581170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27477 KachelY 8749 -0.50726827 1.37150014 -29.064331 78.581170
    Oben rechts KachelX + 1 27478 KachelY 8749 -0.50717240 1.37150014 -29.058838 78.581170
    Unten links KachelX 27477 KachelY + 1 8750 -0.50726827 1.37148116 -29.064331 78.580082
    Unten rechts KachelX + 1 27478 KachelY + 1 8750 -0.50717240 1.37148116 -29.058838 78.580082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37150014-1.37148116) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dl = 120.921579999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37150014-1.37148116) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dr = 120.921579999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50726827--0.50717240) × cos(1.37150014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197979497846919 × 6371000     		do = 120.923455995637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50726827--0.50717240) × cos(1.37148116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197998102124197 × 6371000     		du = 120.934819260668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37150014)-sin(1.37148116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197979497846919-0.197998102124197)×R²
    abs(-0.50717240--0.50726827)×1.86042772780115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86042772780115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86042772780115e-05×40589641000000     		ar = 14622.9423902803m²