Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27477 / 21291
↖ ↑ ↗
← N 53.189579°
W 29.064331°		 ← 365.97 m → N 53.189579°
W 29.058838°		 →
↑
365.95 m
↓
↑
365.95 m
↓
N 53.186288°
W 29.064331°		 ← 365.99 m →
133 930 m²		 N 53.186288°
W 29.058838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419273376464844 y=0.324882507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419273376464844 × 216)
    floor (0.419273376464844 × 65536)
    floor (27477.5)     		tx = 27477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324882507324219 × 216)
    floor (0.324882507324219 × 65536)
    floor (21291.5)     		ty = 21291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27477 / 21291 ti = "16/27477/21291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27477/21291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27477 ÷ 216
    27477 ÷ 65536     		x = 0.419265747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21291 ÷ 216
    21291 ÷ 65536     		y = 0.324874877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419265747070312 × 2 - 1) × π
    -0.161468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50726827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324874877929688 × 2 - 1) × π
    0.350250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10034359387877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50726827} λ = -0.50726827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10034359387877))-π/2
    2×atan(3.00519841435442)-π/2
    2×1.24956480434408-π/2
    2.49912960868816-1.57079632675     		φ = 0.92833328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50726827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.064331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92833328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.189579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27477 KachelY 21291 -0.50726827 0.92833328 -29.064331 53.189579
    Oben rechts KachelX + 1 27478 KachelY 21291 -0.50717240 0.92833328 -29.058838 53.189579
    Unten links KachelX 27477 KachelY + 1 21292 -0.50726827 0.92827584 -29.064331 53.186288
    Unten rechts KachelX + 1 27478 KachelY + 1 21292 -0.50717240 0.92827584 -29.058838 53.186288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92833328-0.92827584) × R
    5.74400000000752e-05 × 6371000     		dl = 365.950240000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92833328-0.92827584) × R
    5.74400000000752e-05 × 6371000     		dr = 365.950240000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50726827--0.50717240) × cos(0.92833328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59916922727865 × 6371000     		do = 365.965236182142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50726827--0.50717240) × cos(0.92827584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599215214041193 × 6371000     		du = 365.993324334285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92833328)-sin(0.92827584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59916922727865-0.599215214041193)×R²
    abs(-0.50717240--0.50726827)×4.59867625431931e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59867625431931e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59867625431931e-05×40589641000000     		ar = 133930.205482398m²